난이도별 테스트(하)

정답과 해설

Ⅱ. 삼각함수

1 ⑴ [eqn: 360 DEG TIMES n+60 DEG `]([eqn: n]은 정수)

⑵ [eqn: 360 DEG TIMES n+130 DEG `]([eqn: n]은 정수)

2 ⑴ 제[eqn: 1]사분면 ⑵ 제[eqn: 3]사분면 ⑶ 제[eqn: 4]사분면

⑷ 제[eqn: 2]사분면

3 ⑴ [eqn: {2} over {5} pi] ⑵ [eqn: - {3} over {4} pi] ⑶ [eqn: -18 DEG] ⑷ [eqn: 300 DEG]

4 ②

5 호의 길이: [eqn: {10} over {3} pi ` rm cm], 부채꼴의 넓이: [eqn: 10 pi rm `cm ^{2}]

6 [eqn: sin theta =- {4} over {5}], [eqn: cos theta = {3} over {5}], [eqn: tan theta =- {4} over {3}]

7 ⑴ [eqn: 2] ⑵ [eqn: tan theta]  8 ③    9 [eqn: - {1} over {2}]   10 ③

11 ③   12 최댓값: [eqn: {5} over {2}], 최솟값: [eqn: 1]   13 [eqn: 0]

14 ③   15 ⑤

16 ⑴ [eqn: x= {pi } over {4}] 또는 [eqn: x= {3} over {4} pi] ⑵ [eqn: x= {pi } over {3}] 또는 [eqn: x= {5} over {3} pi] ⑶ [eqn: x= {pi } over {6}] 또는 [eqn: x= {7} over {6} pi]

17 [eqn: x=0 DEG] 또는 [eqn: x=60 DEG] 또는 [eqn: x=300 DEG] 또는

[eqn: x=360 DEG]18 ⑴ [eqn: {pi } over {6} <x< {5} over {6} pi] ⑵ [eqn: 0 LEQ x< {pi } over {6}]

또는 [eqn: {11} over {6} pi <x<2 pi] ⑶ [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {3}] 또는

[eqn: {pi } over {2} <x LEQ {4} over {3} pi] 또는 [eqn: {3} over {2} pi <x<2 pi]

19 [eqn: 4:3:2]       20 [eqn: 100 sqrt {2}]      21 [eqn: 14]

22 ⑤   23 [eqn: 9]    24 [eqn: 6 sqrt {2}]

1  (1) [eqn: 1140 DEG =360 DEG TIMES 3+60 DEG]이므로

[eqn: 360 DEG TIMES n+60 DEG `]([eqn: n]은 정수)

(2) [eqn: 490 DEG =360 DEG TIMES 1+130 DEG]이므로

[eqn: 360 DEG TIMES n+130 DEG `]([eqn: n]은 정수)

2  (1) [eqn: 380 DEG = 360 DEG TIMES 1+20 DEG]이므로 [eqn: 380 DEG]는 제[eqn: 1]사분면의 각이다.

(2) [eqn: 920 DEG = 360 DEG TIMES 2+200 DEG]이므로 [eqn: 920 DEG]는 제[eqn: 3]사분면의 각이다.

(3) [eqn: 1035 DEG = 360 DEG TIMES 2+315 DEG]이므로 [eqn: 1035 DEG]는 제[eqn: 4]사분면의 각이다.

(4) [eqn: -570 DEG = 360 DEG TIMES (-2)+150 DEG]이므로 [eqn: -570 DEG]는 제[eqn: 2]사분면의 각이다.

3  (1) [eqn: 72 DEG = 72 TIMES {pi } over {180} = {2} over {5} pi]

(2) [eqn: -135 DEG = -135 TIMES {pi } over {180} = - {3} over {4} pi]

(3) [eqn: {5} over {3} pi = {5} over {3} pi TIMES {180 DEG } over {pi } = 300 DEG]

(4) [eqn: - {pi } over {10} = - {pi } over {10} TIMES {180 DEG } over {pi } = -18 DEG]

4  [eqn: -120 DEG]는 제[eqn: 3]사분면의 각이다.

[eqn: 1000 DEG = 360DEG times 2+280 DEG]는 제[eqn: 4]사분면의 각이다.

[eqn: 17 over3 pi = 2pi times 2 + 5 over3 pi]는 제[eqn: 4]사분면의 각이다.

[eqn: 3pi]는 어느 사분면에도 속하지 않은 각이다.

[eqn: 2n pi + 5 over8 pi]는 제[eqn: 2]사분면의 각이다.

[eqn: 4n pi - {pi } over {6}]는 제[eqn: 4]사분면의 각이다.

따라서 제[eqn: 4]사분면의 각은 [eqn: 3]개이다.

Ⅱ. 삼각함수

5  부채꼴의 호의 길이 [eqn: l]은

[eqn: l=6 TIMES {5} over {9} pi = {10} over {3} pi rm `(cm)]

부채꼴의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S= {1} over {2} TIMES 6 ^{2} TIMES {5} over {9} pi =10 pi rm `(cm ^{2} )]

6  [eqn: bar{ rm OP it} = sqrt {6 ^{2} +(-8) ^{2}} = 10]이므로

[eqn: sin theta = {-8} over {10} = - {4} over {5}]

[eqn: cos theta = {6} over {10} = {3} over {5}]

[eqn: tan theta = {-8} over {6} = - {4} over {3}]

7  (1) [eqn: (sin theta +cos theta ) ^{2} +(sin theta -cos theta ) ^{2}]

[eqn: = sin ^2 theta + 2sin theta cos theta + cos ^2 theta]

[eqn: + sin^2 theta- 2 sin theta costheta + cos ^2 theta]

[eqn: =2(sin ^{2} theta +cos ^{2} theta )][eqn: =2]

(2) [eqn: {sin ^{3} theta } over {cos theta -cos ^{3} theta }][eqn: ={ sin theta sin ^2 theta } over { cos theta ( 1- cos ^2 theta )}]

[eqn: ={ sin theta ( 1- cos ^2 theta )} over { cos theta ( 1- cos ^2 theta )}][eqn: = tan theta]

8  [eqn: sin ^{2} theta +cos ^{2} theta =1]에서

[eqn: sin ^{2} theta = 1- cos ^{2} theta][eqn: =1- LEFT ( - {3} over {5} RIGHT ) ^{2}][eqn: = {16} over {25}]

[eqn: pi over2 < theta < pi]에서 [eqn: sin theta >0]이므로

[eqn: sin theta = 4 over 5]

9  [eqn: sin theta -cos theta = sqrt {2}]의 양변을 제곱하면

[eqn: (sin theta - cos theta )^2 = 2], [eqn: 1-2sin theta cos theta =2]

[eqn: 2 sin theta cos theta =-1]    [eqn: therefore] [eqn: sin theta cos theta =- {1} over {2}]

10  [eqn: y=sin LEFT ( 2x- {pi } over {3} RIGHT ) =sin2 LEFT ( x- {pi } over {6} RIGHT )]이므로

[eqn: y = sin 2x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: pi over 6]만큼 평행이동한 것과 같다.

11 함수 [eqn: y=tan {x} over {2}]의 주기는 [eqn: {pi } over {{1} over {2}} =2 pi]

① 함수 [eqn: y=sin2x]의 주기는 [eqn: {2 pi } over {2} = pi]이다.

② 함수 [eqn: y=left | sinx right |+2 pi]의 주기는 함수 [eqn: y=left | sinx right |]의 주기와 같으므로 [eqn: pi]이다.

③ 함수 [eqn: y = 2 pi cos x]의 주기는 함수 [eqn: y = cos x]의 주기와 같으므로 [eqn: 2 pi]이다.

④ 함수 [eqn: y=2left | cos(x-2 pi ) right |]의 주기는 함수 [eqn: y=left | cosx right |]의 주기와 같으므로 [eqn: pi]이다.

⑤ 함수 [eqn: y =left | tan x right |]의 주기는 [eqn: pi]이다.

따라서 함수 [eqn: y=tan {x} over {2}]와 주기가 같은 함수는 ③이다.

12  [eqn: -1 LEQ sin x LEQ 1]이므로

[eqn: - {3} over {2} LEQ sin x- {1} over {2} LEQ {1} over {2}]

[eqn: therefore] [eqn: 0 LEQ LEFT | sinx- {1} over {2} RIGHT | LEQ {3} over {2}]

따라서 [eqn: 1 LEQ LEFT | sinx- {1} over {2} RIGHT | +1 LEQ {5} over {2}]이므로

최댓값은 [eqn: {5} over {2}], 최솟값은 [eqn: 1]이다.

난이도별 테스트(하)

13  (주어진 식)[eqn: = cos x-cos x-sin x+sin x = 0]

14

위의 그림에서 [eqn: a>0]이고

점 [eqn: rm A]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: pi over 3 + 5 over 6 pi = 7 over 6 pi]

이므로 함수 [eqn: y = sin ax]의 주기는

[eqn: 7 over 6 pi times 2 = 7 over 3 pi]

따라서 [eqn: {2 pi } over {LEFT | a RIGHT |} = {7} over {3} pi]이므로

[eqn: a= {6} over {7}] [eqn: (because] [eqn: a> 0)]

15  최댓값은 [eqn: 5], 최솟값은 [eqn: -1]이고 [eqn: a>0]이므로

[eqn: a+c = 5], [eqn: -a+c = -1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a = 3], [eqn: c = 2]

주기가 [eqn: pi]이고 [eqn: b<0]이므로

[eqn: {2 pi } over {-b } = pi]

[eqn: THEREFORE] [eqn: b=-2]

따라서 [eqn: a+b+c = 3]

16 (1) 함수 [eqn: y=sinx] ([eqn: 0 LEQ x<2 pi]의 그래프와 직선 [eqn: y=][eqn: {sqrt {2}} over {2}]의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x= {pi } over {4}] 또는 [eqn: x= {3} over {4} pi]

이므로 주어진 방정식의 해는

[eqn: x= {pi } over {4}] 또는 [eqn: x= {3} over {4} pi]

(2) 함수 [eqn: y=cosx] ([eqn: 0 LEQ x<2 pi])의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {2}]의 교점의 좌표는 [eqn: x= {pi } over {3}] 또는 [eqn: x= {5} over {3} pi] 이므로 주어진 방정식의 해는

[eqn: x= {pi } over {3}] 또는 [eqn: x= {5} over {3} pi]

(3) 함수 [eqn: y=tanx] ([eqn: 0 LEQ x<2 pi])의 그래프와 직선 [eqn: y= {sqrt {3}} over {3}]의 교점의 좌표는 [eqn: x= {pi } over {6}] 또는 [eqn: x= {7} over {6} pi] 이므로 주어진 방정식의 해는

[eqn: x= {pi } over {6}] 또는 [eqn: x= {7} over {6} pi]

17  [eqn: 2sin ^{2} x+3cosx-3=0]에서

[eqn: 2(1-cos ^{2} x)+3cosx-3=0]

[eqn: 2cos ^{2} x-3cosx+1=0]

[eqn: (2cosx -1) (cosx-1) =0`]

[eqn: therefore] [eqn: cosx= {1} over {2}] 또는 [eqn: cosx=1]

이때 [eqn: 0 DEG LEQ x LEQ 360 DEG]이므로

[eqn: cosx= {1} over {2}]에서 [eqn: x=60 DEG] 또는 [eqn: x=300 DEG]

[eqn: cosx = 1]에서 [eqn: x=0 DEG] 또는 [eqn: x=360 DEG]

18 (1) 함수 [eqn: y=sinx]의 그래프와 직선 [eqn: y=][eqn: {1} over {2}]의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x= {pi } over {6}] 또는 [eqn: x= {5} over {6} pi]이므로 부등식 [eqn: sinx> {1} over {2}]의 해는 [eqn: {pi } over {6} <x< {5} over {6} pi]

(2) 함수 [eqn: y=cosx]의 그래프와 직선 [eqn: y=][eqn: {sqrt {3}} over {2}]의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x= {pi } over {6}] 또는 [eqn: x= {11} over {6} pi]이므로

Ⅱ. 삼각함수

부등식 [eqn: cos x> {sqrt {3}} over {2}]의 해는

[eqn: 0 LEQ x< {pi } over {6}] 또는 [eqn: {11} over {6} pi <x<2 pi]

(3) 함수 [eqn: y=tanx]의 그래프와 직선 [eqn: y=][eqn: sqrt {3}]의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x= {pi } over {3}] 또는 [eqn: x= {4} over {3} pi]이므로 부등식 [eqn: tan x LEQ sqrt {3}]의 해는

[eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {3}] 또는 [eqn: {pi } over {2} <x LEQ {4} over {3} pi] 또는

[eqn: {3} over {2} pi <x<2 pi]

19  [eqn: sin`A`:`sin`B`:`sin`C`=4:3:2]이고

[eqn: a:b:c=sin`A`:`sin`B`:`sin`C]이므로

[eqn: a:b:c=4:3:2]

20  주어진 조건을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: TRIANGLE rmABC]에서

[eqn: rm ANGLE C=180 DEG -(105 DEG +30 DEG )=45 DEG]

이므로 사인법칙에 의하여

[eqn: {10} over {sin`30 DEG } = {c} over {sin`45 DEG } =2R]

[eqn: {10} over {sin`30 DEG } = {c} over {sin`45 DEG }]에서 [eqn: 10`sin`45 DEG =c`sin`30 DEG]

[eqn: 10 TIMES {sqrt {2}} over {2} =c TIMES {1} over {2}]

∴ [eqn: c=10 sqrt {2}]

[eqn: {10} over {sin`30 DEG } =2R]에서 [eqn: 2R`sin`30 DEG =10]

[eqn: 2R TIMES {1} over {2} =10]    ∴ [eqn: R=10]  ∴ [eqn: cR=100 sqrt {2}]

21  코사인법칙에 의하여

[eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2} -2ab`cos`C]

[eqn: =10 ^{2} +6 ^{2} -2 TIMES 10 TIMES 6 TIMES cos120 DEG]

[eqn: =][eqn: 100+36+60=196]

∴ [eqn: c=14] (∵ [eqn: c>0])

22  [eqn: a ^{2} =b ^{2} +bc+c ^{2}]에서 [eqn: b ^{2} +c ^{2} =a ^{2} -bc]이므로

[eqn: cos`A= {b ^{2} +c ^{2} -a ^{2}} over {2bc} = {a ^{2} -bc-a ^{2}} over {2bc} =- {bc} over {2bc} =- {1} over {2}]

이때 [eqn: 0 DEG < ANGLE rmA<180 DEG]이므로

[eqn: ANGLE rmA=120 DEG]

23 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= {1} over {2} TIMES {bar{rm BC it}} TIMES {bar{rmCA}} TIMES sin`C]

[eqn: = {1} over {2} TIMES 3 TIMES 12 TIMES sin`30 DEG]

[eqn: = {1} over {2} TIMES 3 TIMES 12 TIMES {1} over {2} =9]

24 평행사변형의 두 밑각의 크기의 합은 [eqn: 180 DEG]이므로

[eqn: rm ANGLE B+ ANGLE C=180 DEG]

∴ [eqn: rm ANGLE B=180 DEG - ANGLE C=180 DEG -135 DEG =45 DEG]

따라서 평행사변형 [eqn: rmABCD]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= {bar{rmAB}} TIMES {bar{rmBC}} TIMES sin`B]

[eqn: =3 TIMES 4 TIMES sin`45 DEG]

[eqn: =3 TIMES 4 TIMES {sqrt {2}} over {2} =6 sqrt {2}]