난이도별 테스트(하)

정답과 해설

Ⅲ. 수열

1 [eqn: {1} over {2}], [eqn: {2} over {3}], [eqn: {3} over {4}], [eqn: {4} over {5}], [eqn: {5} over {6}]      2 [eqn: a _{n} =-3n+6]

3 ③     4 [eqn: a=22], [eqn: b=15]  5 ①    6 [eqn: 64]

7 [eqn: 2]      8 [eqn: +-9]    9 ②    10 [eqn: {5} over {6} LEFT □ 1- LEFT ( - {1} over {5} RIGHT ) ^{n} RIGHT □]

11 ②   12 [eqn: 56]    13 [eqn: 540]  14 ④   15 ③

16 [eqn: 5 ^{11} -5]        17 [eqn: 795]  18 ②   19 [eqn: {n} over {2n+1}]

20 [eqn: {39} over {40}]  21 [eqn: a _{3} =2], [eqn: a _{4} =3]         22 ④

23 ②    24 ㄱ, ㄹ

1  [eqn: a _{ 1 } = { 1 }over{ 1 + 1 } = { 1 }over{ 2 }], [eqn: a _{ 2 } = { 2 }over{ 2 + 1 } = { 2 }over{ 3 }],

[eqn: a _{ 3 } = { 3 }over{ 3 + 1 } = { 3 }over{ 4 }], [eqn: a _{ 4 } = { 4 }over{ 4 + 1 } = { 4 }over{ 5 }],

[eqn: a _{ 5 } = { 5 }over{ 5 + 1 } = { 5 }over{ 6 }]

따라서 첫째항부터 제[eqn: 5]항까지 나열하면

[eqn: { 1 }over{ 2 }], [eqn: { 2 }over{ 3 }], [eqn: { 3 }over{ 4 }], [eqn: { 4 }over{ 5 }], [eqn: { 5 }over{ 6 }]

2  [eqn: a _{ n } = 3 + ( n - 1 ) times ( - 3 ) = - 3 n + 6]

3  첫째항이 [eqn: 7], 공차가 [eqn: 2]인 등차수열의 제[eqn: ( m + 2 )]항이 [eqn: 47]이므로

[eqn: 7 + ( m + 2 - 1 ) times 2 = 47]

[eqn: 2 ( m + 1 ) = 40]    [eqn: therefore] [eqn: m = 19]

4  [eqn: a]는 [eqn: 29]와 [eqn: b]의 등차중항이므로

[eqn: 2 a = 29 + b]	[eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: b]는 [eqn: a]와 [eqn: 8]의 등차중항이므로

[eqn: 2 b = a + 8]	[eqn: cdots cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: a = 22], [eqn: b = 15]

5  등차수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]은 첫째항이 [eqn: - 50], 공차가 [eqn: 3]이므로 일반항 [eqn: a _{ n }]은

[eqn: a _{ n } = - 50 + ( n - 1 ) times 3 = 3 n - 53]

이때 제[eqn: n]항에서 처음으로 양수가 된다고 하면

[eqn: a _{ n } = 3 n - 53 > 0]

[eqn: therefore] [eqn: n > 17.6 timestimestimes]

따라서 첫째항부터 제[eqn: 17]항까지가 음수이고, 제[eqn: 18]항부터 양수이므로 첫째항부터 제[eqn: 17]항까지의 합이 최소이다.

[eqn: S _{ 17 } = { 17 lbrace 2 times ( - 50 ) + ( 17 - 1 ) times 3 rbrace }over{ 2 } = - 442]

따라서 구하는 최솟값은 [eqn: - 442]이다.

6  [eqn: S _{ n } = n ^{ 2 } + 2 n]에서

(ⅰ) [eqn: n geq 2]일 때

[eqn: a _{ n } = S _{ n } - S _{ n - 1 }]

[eqn: = n ^{ 2 } + 2 n - lbrace ( n - 1 ) ^{ 2 } + 2 ( n - 1 ) rbrace]

[eqn: = 2 n + 1]	[eqn: cdots cdots]㉠

(ⅱ) [eqn: n = 1]일 때

[eqn: a _{ 1 } = S _{ 1 } = 1 ^{ 2 } + 2 times 1 = 3]

이때 [eqn: a _{ 1 } = 3]은 ㉠에 [eqn: n = 1]을 대입한 값과 같으므로 수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]은 첫째항부터 등차수열을 이룬다.

[eqn: therefore] [eqn: a _{ n } = 2 n + 1]

[eqn: therefore] [eqn: a _{ 1 } + a _{ 30 } = 3 + ( 60 + 1 ) = 64]

Ⅲ. 수열

7  첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a = 1458], [eqn: r = { 54 }over{ 162 } = { 1 }over{ 3 }]

[eqn: therefore] [eqn: a _{ n } = ar ^{ n - 1 } = 1458 times LEFT ( { 1 }over{ 3 } right ) ^{ n - 1 }]

따라서 [eqn: a _{ 7 }]의 값은

[eqn: a _{ 7 } = 1458 times LEFT ( { 1 }over{ 3 } right ) ^{ 7 - 1 } = 2]

8  [eqn: - 3]과 [eqn: - 27]의 등비중항을 [eqn: x]라 하면

[eqn: x ^{ 2 } = ( - 3 ) times ( - 27 ) = 81]

[eqn: therefore] [eqn: x = +- 9]

9  세 양수 [eqn: x], [eqn: x + 30], [eqn: 16 x]가 이 순서로 등비수열을 이루므로

[eqn: ( x + 30 ) ^{ 2 } = x times 16 x], [eqn: x ^{ 2 } + 60 x + 900 = 16 x ^{ 2 }]

[eqn: x ^{ 2 } - 4 x - 60 = 0], [eqn: ( x - 10 ) ( x + 6 ) = 0]

[eqn: therefore] [eqn: x = 10] [eqn: ( because] [eqn: x > 0 )]

10  첫째항이 [eqn: 1], 공비가 [eqn: - { 1 }over{ 5 }]인 등비수열이므로

첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{ n }]은

[eqn: S _{ n } = { 1 times LEFT lbrace 1 - LEFT ( - { 1 }over{ 5 } right ) ^{ n } right rbrace }over{ 1 - LEFT ( - { 1 }over{ 5 } right ) } = { 5 }over{ 6 } LEFT lbrace 1 - LEFT ( - { 1 }over{ 5 } right ) ^{ n } right rbrace]

11  [eqn: S _{ n } = 3 times 2 ^{ n + 1 } + 4 k]에서

(ⅰ) [eqn: n geq 2]일 때

[eqn: a _{ n } = S _{ n } - S _{ n - 1 }]

[eqn: =3 TIMES 2 ^{n+1} +4k-(3 TIMES 2 ^{n} +4k)]

[eqn: =3 TIMES 2 ^{n}]	[eqn: cdots cdots]㉠

(ⅱ) [eqn: n = 1]일 때

[eqn: a _{ 1 } = S _{ 1 } = 3 times 2 ^{ 2 } + 4 k = 12 + 4 k]	[eqn: cdots cdots]㉡

이때 첫째항부터 등비수열을 이루려면 ㉠에 [eqn: n = 1]을 대입한 값이 ㉡과 같아야 하므로

[eqn: 3 times 2 = 12 + 4 k]

[eqn: therefore] [eqn: k = - { 3 }over{ 2 }]

12  수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]에서

[eqn: S _{ n } = 3 ^{ n } - 1]이므로

[eqn: a _{ 1 } = S _{ 1 } = 3 ^{ 1 } - 1 = 2]

[eqn: a _{ 4 } = S _{ 4 } - S _{ 3 } = ( 3 ^{ 4 } - 1 ) - ( 3 ^{ 3 } - 1 ) = 54]

[eqn: therefore] [eqn: a _{ 1 } + a _{ 4 } = 56]

13  (주어진 식)

[eqn: = sum _{i=1} ^{10} (9a _{i}` ^{2} +9a _{i} +9)]

[eqn: =9 sum _{i=1} ^{10} a _{i}` ^{2} +9 sum _{i=1} ^{10} a _{i} + sum _{i=1} ^{10} 9]

[eqn: = 9 times 40 + 9 times 10 + 9 times 10 = 540]

14  [eqn: sum _{ k = 1 } ^{ 10 } ( 2 a _{ k } - 1 ) ^{ 2 }]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} (4a _{k}` ^{2} -4a _{k} +1)]

[eqn: =4 sum _{k=1} ^{10} a _{k}` ^{2} -4 sum _{k=1} ^{10} a _{k} + sum _{k=1} ^{10} 1]

[eqn: = 4 times 11 - 4 times 2 + 10 = 46]

난이도별 테스트(하)

15  [eqn: sum _{ k = 1 } ^{ 2014 } { 3 ^{ k } + ( - 1 ) ^{ k } }over{ 4 ^{ k } }]

[eqn: = sum _{ k = 1 } ^{ 2014 } LEFT ( { 3 }over{ 4 } right ) ^{ k } + sum _{ k = 1 } ^{ 2014 } LEFT ( - { 1 }over{ 4 } right ) ^{ k }]

[eqn: = { 14 }over{ 5 } - 3 LEFT ( { 3 }over{ 4 } right ) ^{ 2014 } + { 1 }over{ 5 } LEFT ( { 1 }over{ 4 } right ) ^{ 2014 }]

[eqn: = a + b LEFT ( { 3 }over{ 4 } right ) ^{ 2014 } + c LEFT ( { 1 }over{ 4 } right ) ^{ 2014 }]

따라서 [eqn: a = { 14 }over{ 5 }], [eqn: b = - 3], [eqn: c = { 1 }over{ 5 }]이므로 [eqn: a + b + c = 0]

16  (주어진 식)

[eqn: = LEFT ( sum _{k=1} ^{10} 4 TIMES 5 ^{k} + sum _{k=11} ^{n} 4 TIMES 5 ^{k} RIGHT ) - sum _{k=11} ^{n} 4 TIMES 5 ^{k}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} 4 TIMES 5 ^{k}]

[eqn: = 4 times { 5 ( 5 ^{ 10 } - 1 ) }over{ 5 - 1 } = 5 ^{ 11 } - 5]

17  [eqn: sum _{ k = 5 } ^{ 10 } ( k ^{ 3 } - 6 k ^{ 2 } )]

[eqn: = sum _{ k = 1 } ^{ 10 } k ^{ 3 } - 6 sum _{ k = 1 } ^{ 10 } k ^{ 2 } - sum _{ k = 1 } ^{ 4 } k ^{ 3 } + 6 sum _{ k = 1 } ^{ 4 } k ^{ 2 }]

[eqn: = 55 ^{ 2 } - 2310 - 100 + 180 = 795]

18  [eqn: sum _{ k = 1 } ^{ n - 1 } ( 4 k - 3 ) = 4 sum _{ k = 1 } ^{ n - 1 } k - sum _{ k = 1 } ^{ n - 1 } 3]

[eqn: =4 TIMES {(n-1)n} over {2} -3(n-1)]

[eqn: =2n ^{2} -5n+3]

[eqn: 2 n ^{ 2 } - 5 n + 3 = 120]에서

[eqn: 2 n ^{ 2 } - 5 n - 117 = 0], [eqn: ( 2 n + 13 ) ( n - 9 ) = 0]

이때 [eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: n = 9]

19  주어진 수열의 일반항을 [eqn: a _{ n }]이라 하면

[eqn: a _{ n } = { 1 }over{ ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 ) } = { 1 }over{ 2 } LEFT ( { 1 }over{ 2 n - 1 } - { 1 }over{ 2 n + 1 } right )]

주어진 수열의 합은 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이므로

[eqn: sum _{ k = 1 } ^{ n } a _{ k } = sum _{ k = 1 } ^{ n } { 1 }over{ 2 } LEFT ( { 1 }over{ 2 k - 1 } - { 1 }over{ 2 k + 1 } right )]

[eqn: = { 1 }over{ 2 } sum _{ k = 1 } ^{ n } LEFT ( { 1 }over{ 2 k - 1 } - { 1 }over{ 2 k + 1 } right )]

[eqn: = { 1 }over{ 2 } LEFT lbrace LEFT ( 1 - { 1 }over{ 3 } right ) + LEFT ( { 1 }over{ 3 } - { 1 }over{ 5 } right ) + LEFT ( { 1 }over{ 5 } - { 1 }over{ 7 } right ) + right .]

[eqn: LEFT . cdots + LEFT ( { 1 }over{ 2 n - 1 } - { 1 }over{ 2 n + 1 } right ) right rbrace]

[eqn: = { n }over{ 2 n + 1 }]

20  [eqn: sum _{ k = 2 } ^{ 40 } { 1 }over{ ( k - 1 ) k }]

[eqn: = sum _{ k = 2 } ^{ 40 } LEFT ( { 1 }over{ k - 1 } - { 1 }over{ k } right )]

[eqn: = LEFT ( 1 - { 1 }over{ 2 } right ) + LEFT ( { 1 }over{ 2 } - { 1 }over{ 3 } right ) + cdots + LEFT ( { 1 }over{ 39 } - { 1 }over{ 40 } right )]

[eqn: = 1 - { 1 }over{ 40 } = { 39 }over{ 40 }]

21  [eqn: a _{ 1 } = 1], [eqn: a _{ 2 } = 1]이므로

[eqn: a _{ 3 } = a _{ 2 } + a _{ 1 } = 1 + 1 = 2],

[eqn: a _{ 4 } = a _{ 3 } + a _{ 2 } = 2 + 1 = 3]

22  수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]은 첫째항이 [eqn: 2], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이므로

[eqn: a _{ n } = 2 + ( n - 1 ) 3 = 3 n - 1]

[eqn: therefore] [eqn: a _{ 16 } = 3 times 16 - 1 = 47]

Ⅲ. 수열

23  수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]은 등차수열이고

[eqn: a _{ 1 } = 1], [eqn: a _{ 2 } - a _{ 1 } = 3 - 1 = 2]

이므로 수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]의 첫째항은 [eqn: 1], 공차는 [eqn: 2]이다.

즉, [eqn: a _{ n } = 1 + ( n - 1 ) times 2 = 2 n - 1]이므로

[eqn: a _{ 27 } = 27 times 2 - 1 = 53]

24  (ⅰ) [eqn: n = 1]일 때

[eqn: p ( n )]이 참임을 보여야 하므로 ㄱ이 필요하다.

(ⅱ) [eqn: n = k ^{ 2 }]일 때

[eqn: p ( n )]이 성립한다고 가정하면

[eqn: n = ( k + 1 ) ^{ 2 } = k ^{ 2 } + 2 k + 1]일 때도 [eqn: p ( n )]이 성립함을 보이면 되므로 ㄹ이 필요하다.

따라서 보기에서 반드시 증명해야 할 것은 ㄱ, ㄹ이다.