난이도별 테스트(상)

정답과 해설

Ⅰ. 함수의 극한과 연속

1 ③     2 ㄴ    3 ⑤    4 ③    5 ②

6 ④    7 ④    8 [eqn: g(x)=x ^{3} -x]    9 [eqn: 6]

10 [eqn: 2]    11 [eqn: 6]   12 ④   13 ③    14 [eqn: 2]개

15 [eqn: beta]   16 [eqn: 2]번

1  구간 [eqn: [-2], [eqn: 3]]에서 함수 [eqn: y = [f(x)]]의 그래프를 그리면 다음 그림과 같다.

이때 [eqn: lim _{x -> 0+} {`} [f(x)]= lim _{x -> 0-} {`} [f(x)]=0]이므로

[eqn: lim _{x -> 0} {`} [f(x)]=0]

2 ㄱ. [eqn: lim _{x -> 0} {`} LEFT { f`(x)+g(x) RIGHT }][eqn: = lim _{x -> 0} {f(x)+ lim _{x -> 0} {g(x)}}]

[eqn: =1+1=2]

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1+} {f(x)g(x)} = lim _{x -> 1+} {f(x)} TIMES lim _{x -> 1+} {g(x)}]

[eqn: =1times1=1]

[eqn: lim _{x -> 1-} {f(x)g(x)} = lim _{x -> 1-} {f(x)} TIMES lim _{x -> 1-} {g(x)}]

[eqn: =2times1=2]

즉, [eqn: lim _{x -> 1} { f(x) g(x) }]의 값은 존재하지 않는다.

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 2}` {{f(x)} over {g(x)}}][eqn: = {lim_{x->2}{f(x)}} over {lim_{x->2} {g(x)}}][eqn: = 1over1 =1]

ㄹ. [eqn: g(t)=t]로 놓으면 [eqn: x->3+]일 때 [eqn: t->1-]이므로

[eqn: lim _{x -> 3+} {`} (f CIRC g)(x)`= lim _{x -> 3+} {f(g(x))}=lim_{t->1-}{f(t)}=2]

[eqn: x->3-]일 때 [eqn: t=1]이므로

[eqn: lim _{x -> 3-} {`} (f CIRC g)(x)`= f(1) =2]

[eqn: THEREFORE `` lim _{x -> 3} {(f CIRC g )(x)}=2]

따라서 <보기>에서 극한값이 존재하지 않는 것은 ㄴ이다.

3 [eqn: x-2=t]로 놓으면 [eqn: x->2]일 때 [eqn: t` -> `0]이고,

[eqn: lim _{x -> 0} {`} {f(x)} over {x} =1]이므로

[eqn: lim _{x -> 2} {`} {x-2} over {f(x-2)} =lim _{{t->0}} {{t}over{f(t)}}][eqn: =1]

[eqn: therefore``][eqn: lim _{x -> 2} {} ` {x ^{2} -4} over {f(x-2)}][eqn: = lim _{x -> 2} { `} {(x-2)(x+2)} over {f(x-2)}]

[eqn: = lim _{x -> 2} {{x-2}over{f(x-2)}} timeslim_{x->2}{(x+2)}]

[eqn: =4 lim _{x -> 2} {{x-2} over {f(x-2)}}]

[eqn: =4 lim _{t->0} {{t}over{f(t)}} =4]

4  [eqn: x- alpha =t]로 놓으면 [eqn: x` -> ` alpha]일 때 [eqn: t` -> `0]이므로

[eqn: lim _{x -> alpha } {`} {f`(x- alpha )} over {x- alpha } = lim _{t -> 0} {`} {f(t)} over {t} =3]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{x -> 0} {`} {3x+4f(x)} over {x ^{2} +3f(x)}][eqn: = lim _{x -> 0} {`} {3+4 times{f(x)} over {x}} over {x+3times {f(x)} over {x}}]

[eqn: = {15} over {9}={5} over {3}]

Ⅰ. 함수의 극한과 연속

5  [eqn: root {3} of {x ^{3} +x ^{2}} =A], [eqn: root {3} of {x ^{3} -x ^{2}} =B]라 하면

[eqn: lim _{x -> INF } {`} ( root {3} of {x ^{3} +x ^{2}} - root {3} of {x ^{3} -x ^{2}} )]

[eqn: = lim _{x -> INF } {`} (A-B)]

[eqn: = lim _{x-> INF } {`} {(A-B)(A ^{2} +AB+B ^{2} )} over {(A ^{2} +AB+B ^{2} )}]

[eqn: = lim _{x-> INF } {`} {A ^{3} -B ^{3}} over {A ^{2} +AB+B ^{2}}]

[eqn: = lim _{x -> INF } {`} {(x ^{3} +x ^{2} )-(x ^{3} -x ^{2} )} over {root {3} of {x ^{6} +2x ^{5} +x ^{4}} + root {3} of {x ^{6} -x ^{4}} + root {3} of {x ^{6} -2x ^{5} +x ^{4}}}]

[eqn: = lim _{x -> INF } {`} {2} over {root {3} of {1+ {2} over {x} + {1} over {x ^{2}}} + root {3} of {1- {1} over {x ^{2}}} + root {3} of {1- {2} over {x} + {1} over {x ^{2}}}}]

[eqn: = {2} over {root {3} of {1} + root {3} of {1} + root {3} of {1}} = {2} over {3}]

6  (ⅰ) [eqn: a<100]일 때 [eqn: lim _{x -> INF } {`} {x ^{a} +a} over {x ^{100} +1} =0]

(ⅱ) [eqn: a=100]일 때 [eqn: lim _{x -> INF } {`} {x ^{a} +a} over {x ^{100} +1} =1]

(ⅲ) [eqn: a>100]일 때 [eqn: lim _{x -> INF } {`} {x ^{a} +a} over {x ^{100} +1} =inf]

(ⅰ)~(ⅲ)에서 [eqn: b = 0] 또는 [eqn: b=][eqn: 1]

또 [eqn: lim _{x -> INF } {`} {x ^{a} +a} over {x ^{100} +1}]의 값이 실수가 되는 [eqn: a]의 범위는

[eqn: a LEQ 100]

따라서 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 100], [eqn: b]의 최솟값은 [eqn: 0]이므로

[eqn: a+b =100]

7  [eqn: lim _{x -> INF } {`} {a sqrt {x ^{2} +8} -b} over {x-1}][eqn: = lim _{x -> INF } {`} {a sqrt {1+ {8} over {x ^{2}}} - {b} over {x}} over {1- {1} over {x}} =a]

[eqn: therefore] [eqn: a`=2]

[eqn: lim _{x -> 1} {`} {a sqrt {x ^{2} +8} -b} over {x-1} =c]에서 [eqn: x` -> `1]일 때 (분모)[eqn: `-> `0]이고, 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: `-> `0]에서

[eqn: lim _{x -> 1} {`} (a sqrt {x ^{2} +8} -b)][eqn: =0]    [eqn: therefore] [eqn: b=`3a=6]

[eqn: lim _{x -> 1} {{2 sqrt {x ^{2} +8} -6} over {x-1}}][eqn: = lim _{x -> 1} {{2( sqrt {x ^{2} +8}-3)} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {`} {2left{(x ^{2} +8)-9 right}} over {(x-1)(sqrt {x ^{2} +8} +3)}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {`} {2(x-1)(x+1)} over {(x-1)(2 sqrt {x ^{2} +8} +3)}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {} ` {2(x+1)} over {sqrt {x ^{2} +8} +3} = {2} over {3}]

따라서 [eqn: c= {2} over {3}]이므로 [eqn: abc=2 TIMES 6 TIMES {2} over {3} =8]

8 [eqn: lim _{x -> 1} {`} {f(x)} over {x-1} =2]에서 [eqn: x` -> `1]일 때 (분모)[eqn: `-> `0]이고, 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: `-> `0]에서

[eqn: lim _{x -> 1} {f(x)} =0]    [eqn: therefore``f(1)=0]

[eqn: lim _{x -> -1} {f(x) over{x^2 -1}} =-1]에서 [eqn: x` -> `-1]일 때 (분모)[eqn: `-> `0]이고, 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: `-> `0]에서

[eqn: lim _{x -> -1} {f(x)} =0]    [eqn: THEREFORE ``f(-1)=0]

[eqn: f(x)=(x-1)(x+1)h(x)`]([eqn: h(x)]는 [eqn: x]의 다항식)라

하면

[eqn: lim _{x -> 1} {`} {f(x)} over {x-1} =2h(1)]    [eqn: therefore] [eqn: h(1)=1]

[eqn: lim _{x -> -1} {`} {f(x)} over {x ^{2} -1} =h(-1)]    [eqn: therefore] [eqn: h(-1)=-1]

이때 함수 [eqn: f(x)]의 차수가 가장 낮으려면 다항식 [eqn: h(x)]의 차수가 낮아야 하므로

[eqn: h(x)=x]

[eqn: therefore] [eqn: g(x)=x(x-1)(x+1)=x ^{3} -x]

난이도별 테스트(상)

9 점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: (t,~3t ^{2} )]라 하면

[eqn: rmA prime(it0,~3)], [eqn: rmP prime(0,~it3t^2 )], [eqn: rmH(it1,~3t^2 )]

즉, [eqn: bar{rmAH}=it 3t^2 -3], [eqn: {bar{rm HP}} =itt-1]이므로

[eqn: lim _{t->1} {{bar{rmAH}}over{bar{rmHP}}} = lim_{it t->1}{{3t^2 -3}over{t-1}}=lim_{t->1}{{3(t+1)}=6]

10  함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이면 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {`f(x)} =f(1)]

[eqn: lim _{x -> 1} {` {x ^{3} +ax+b} over {(x-1) ^{2}}}]의 값이 존재하기 위해서는 [eqn: x` -> `1+]일 때 (분모)[eqn: -> ` 0]이면 (분자)[eqn: -> ` 0]이어야 하므로

[eqn: lim_{x->1}(x^2 +ax+b) = 0]   [eqn: THEREFORE] [eqn: b=-a-1]

[eqn: therefore``][eqn: lim _{x -> 1} {` {x ^{3} +ax+b} over {(x-1) ^{2}}}][eqn: = lim _{x -> 1} {` {x ^{3} +ax-a-1} over {(x-1) ^{2}}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} { `{(x ^{3} -1)+a(x-1)} over {(x-1) ^{2}}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} { `{x ^{2} +x+1+a} over {x-1}}]

또  [eqn: lim _{x -> 1} {` {x ^{2} +x+1+a} over {x-1}}]의 값이 존재하기 위해서는 [eqn: x`->`1]일 때 (분모)[eqn: ->`0]이면 (분자)[eqn: -> `0]이어야 하므로

[eqn: lim_{x->x1}{ (x^2 +x+1+a)} =0]    [eqn: therefore] [eqn: a= -3], [eqn: b=2]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{x -> 1} {`{x ^{2} +x+1-3} over {x-1}}][eqn: = lim _{x -> 1} {(x+2)}][eqn: =3]

따라서 [eqn: c=3]이므로 [eqn: a+b+c=-3+2+3=2]

11  [eqn: x != -2], [eqn: x != 1]일 때, 함수 [eqn: f(x)]를 구하면

[eqn: f(x)= {ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d} over {x ^{2} +x-2} `]

[eqn: lim _{x -> INF } {` {ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d} over {x ^{2} +x-2} =3}]이므로 [eqn: a = 0], [eqn: b = 3]

함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이면 [eqn: x != -2],

[eqn: x != 1]에서 연속이므로

(ⅰ) [eqn: f(-2)= lim _{x -> -2} {`{3x ^{2} +cx+d} over {x ^{2} +x-2}}]에서

[eqn: x -> -2]일 때 (분모)[eqn: ->0]이고, 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ->0]에서

[eqn: lim _{x -> -2} {(3x^2 +cx+d)} =`0]

[eqn: therefore``][eqn: 2c-d = 12]    [eqn: cdotscdots]㉠

(ⅱ) [eqn: f(1)= lim _{x -> 1} {`{3x ^{2} +cx+d} over {x ^{2} +x-2}}]에서

[eqn: x` ->` 1]일 때 (분모)[eqn: ->0]이고, 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ->0]에서

[eqn: lim _{x -> 1} {(3x ^{2} +cx+d)} =`0]

[eqn: therefore``][eqn: c+d=-3]      [eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: c=3], [eqn: d=-6]

즉, [eqn: f(1)= lim _{x -> 1} {` {3x ^{2} +3x-6} over {x ^{2} +x-2} =3}],

[eqn: f(-2)=lim _{x -> -2} {`{3x ^{2} +3x-6} over {x ^{2} +x-2} =3}]

[eqn: therefore] [eqn: f(1)+f(-2) = 6]

12 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속이면 [eqn: x=3], [eqn: x=5]에서 연속이므로

[eqn: f(3)=lim _{x -> 3+} {f(x)} = lim _{x -> 3-} {f(x)}]에서

[eqn: f(3)=b],

[eqn: lim_{x->3+}{f(x)}=lim _{x -> 3+} {` LEFT { a(x-3) ^{2} +b RIGHT }=b],

[eqn: lim _{x -> 3-} {f(x)} = lim _{x -> 3-} {(x+2)} =5]

[eqn: therefore] [eqn: b=5]

또 [eqn: f(5)=f(0)]이므로
[eqn: 4a+b=2]

Ⅰ. 함수의 극한과 연속

이 식에 [eqn: b=5]를 대입하여 정리하면

[eqn: a= - 3over4]

따라서 [eqn: f(x)= {cases{`~~~~~x+2&~(0 LEQ x<3)#- {3} over {4} (x-3) ^{2} +5&~(3 LEQ x LEQ 5)}}]이므로

[eqn: f(14)=f(9)=f(4) = 17over4]

13  ①, ②, ④, ⑤ [반례] 함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 아래 그림과 같은 경우에는 성립하지 않는다.

③ [eqn: g(x) = f (x)-1]이라 하면 함수 [eqn: g(x)]는 닫힌구간 [eqn: [-2,~0]]에서 연속이고

[eqn: g(0) = f (0)-1 = -1 < 0][eqn: g(-2) = f (-2)-1 = 1>0]

이므로 사잇값 정리에 의하여 방정식 [eqn: g(x) = 0]은 열린구간 [eqn: (-2], [eqn: 0)]에서 적어도 하나의 실근을 가진다.

또 [eqn: lim _{x -> INF } {`g(x)= INF }], [eqn: lim _{x -> - INF } { `g (x) = -1 < 0 }]이므로 열린구간 [eqn: (-inf], [eqn: -2)], [eqn: (0], [eqn: inf)]에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다.

따라서 방정식 [eqn: f (x) = 1]은 적어도 두 개의 서로 다른 음의 실근을 갖는다.

따라서 옳은 것은 ③이다.

14  [eqn: g(x)=f(x)-x]라 하면 함수 [eqn: g(x)]는 닫힌구간 [eqn: [0,~3]]에서 연속이고

[eqn: g(0)=f(0)-0=-1<0]

[eqn: g(1)=f(1)-1=-3<0]

[eqn: g(2)=f(2)-2=1>0]
[eqn: g(3)=f(3)-3=-3<0]

이므로 사잇값 정리에 의하여 [eqn: g(x)=0]은 열린구간 [eqn: (1], [eqn: 2)], [eqn: (2], [eqn: 3)]에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다.

따라서 방정식 [eqn: g(x)=0] 즉, [eqn: f(x)- x = 0]은 열린구간 [eqn: (0], [eqn: 3)]에서 적어도 [eqn: 2]개의 실근을 갖는다.

15  [eqn: f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)+(x-1)(x-2)]

[eqn: +(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)]

이라 하면

[eqn: f(1)=2>0], [eqn: f(2)-1<0], [eqn: f(3)=2>0]

이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식 [eqn: f(x) = 0]은 열린구간 [eqn: (1,~ 2)], [eqn: (2,~3)]에서 각각 적어도 하나의 실근을 가진다.

또 [eqn: lim _{x -> - INF } {`f(x)=- INF }], [eqn: lim _{x -> INF } {`f(x)= INF }]이므로 열린구간 [eqn: (- INF ,~1)]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

이때 세 실근이 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma ` ( alpha < beta < gamma )]이므로

[eqn: alpha < 1], [eqn: 1< beta <2], [eqn: 2< gamma <3]

따라서 열린구간 [eqn: (1,~2)]에 속하는 근은 [eqn: beta]이다.

16  시간은 연속적으로 변하므로 시계의 날짜와 시간을 그래프로 나타내면 아래 그림과 같이 나타낼 수 있다.

따라서 두 달 동안 정시를 나타내는 순간은 적어도 [eqn: 2]번 있었다.