난이도별 테스트(상)

정답과 해설

Ⅱ. 미분

1 ①     2 ③    3 ③    4 ②    5 ⑤

6 ③     7 ②     8 ②    9 [eqn: 6]    10 ②

11 [eqn: 1]     12 ⑤   13 [eqn: -1<a<0]     14 ①

15 ③   16 ②

1 주어진 그래프에서 [eqn: f(a)=b], [eqn: f(b)=c], [eqn: f(c)=d], [eqn: f(d)=e]이므로

[eqn: g(b)=a], [eqn: g(c)=b], [eqn: g(d)=c], [eqn: g(e)=d]

따라서 함수 [eqn: g(x)]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: c]에서 [eqn: d]로 변할 때의 평균변화율은

[eqn: {g(d)-g(c)} over {d-c} = {c-b} over {d-c}]

2  [eqn: 2over n = h]로 놓으면 [eqn: n `->` inf]일 때 [eqn: h`-> ` 0]이고,

[eqn: n= 2overh]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {`n ^{3} LEFT { f LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) -f(0) RIGHT } ^{3}}][eqn: = lim _{h -> 0} {{2 ^{3}} over {h ^{3}} LEFT { f(h)-f(0) RIGHT } ^{3}}]

[eqn: =8 lim _{n -> 0} {` LEFT { {f(h)-f(0)} over {h} RIGHT }} ^{3}]

[eqn: =8 LEFT { f prime (0) RIGHT } ^{3}]

[eqn: =8 TIMES 2 ^{3`} =64]

3  [eqn: f(2x)=2f(x)]에서

[eqn: f(2)=2f(1)], [eqn: f(2+h)=2f LEFT ( 1+ {h} over {2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f prime (2)= lim _{h -> 0} {`{f (2+h)-f (2)} over h }]

[eqn: = lim _{h -> 0} {`{2f LEFT ( 1 + h over 2 RIGHT )- 2f (1) } over {h } }]

[eqn: = lim _{h -> 0} {`{{f left (1+ h over 2 right )} - f(1) } over { h over 2} }]

[eqn: = f prime (1) = a]

4 [eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)]의 양변에 [eqn: x = 0], [eqn: y=0]을 대입하면 [eqn: f(0) = f(0)+f(0)]    [eqn: therefore] [eqn: f(0) = 0]

미분계수의 정의에 의하여

[eqn: f prime (x)= lim _{h-> 0} {`{f(x+h)-f(x)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {` {f(x)+f(h)-f(x)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {`{f(h)} over {h}][eqn: = lim _{h -> 0} {` {f(h)-f(0)} over {h}}][eqn: (because``f(0)=0)]

[eqn: =f prime (0)=2}]

따라서 [eqn: f prime (x) = 2]이므로 함수 [eqn: y=f prime (x)]의 그래프는 ②이다.

5  [eqn: f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)]에서

[eqn: f prime (x)][eqn: =(x-b)(x-c)][eqn: +(x-a)(x-c)]                                               [eqn: +(x-a) (x-b)]

[eqn: therefore``][eqn: f prime (a)+f prime (b)+f prime (c)]

[eqn: =(a-b)(a-c)+(b-a)(b-c)+(c-a)(c-b)]

[eqn: =][eqn: a ^{2} -ab-ac+bc+b ^{2} -ab-bc+ac+c ^{2} -ac-bc+ab]

[eqn: =a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ac]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { (a-b) ^{2} +(b-c) ^{2} +(c-a) ^{2} RIGHT }]

Ⅱ. 미분

[eqn: {1} over {2} LEFT { (a-b) ^{2} +(b-c) ^{2} +(c-a) ^{2} RIGHT } =0]이려면

[eqn: a-b=0], [eqn: b-c=0], [eqn: c-a=0] 즉, [eqn: a=b=c]이어야 한다.

따라서 [eqn: f prime (a)+f prime (b)+f prime (c)=0]이 성립하기 위한 필요충분조건은 [eqn: a = b = c]이다.

6  [eqn: f(x)=x ^{3}]라 하면 [eqn: f prime(x)=3x^2]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (a , ~a^3 )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: f prime(a)=3a^2]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y- a^3 = 3a^2 (x-a)]    [eqn: THEREFORE ``y=3a ^{2} x-2a ^{3}]

이 접선과 [eqn: y]축과 만나는 점의 [eqn: y]좌표를 구하면

[eqn: y=-2a ^{3}]

[eqn: therefore] [eqn: g(a)=-2a ^{3}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{a -> INF } {` {g(a)-g( sqrt {a ^{2} +a} )} over {a ^{2}}}]

[eqn: = lim _{a -> INF } {` {-2a ^{3} +2( sqrt {a ^{2} +a} ) ^{3}} over {a ^{2}}}]

[eqn: = lim _{a -> INF } {` {2} over {a ^{2}} TIMES {(a ^{2} +a) ^{3} -a ^{6}} over {( sqrt {a ^{2} +a} ) ^{3} +a ^{3}}}]

[eqn: = lim _{a -> INF } {{2} over {a ^{2}} TIMES {3a ^{5} +3a ^{4} +a ^{3}} over {(a ^{2} +a) sqrt {a ^{2} +a} +a ^{3}}}]

[eqn: = lim _{a -> INF } {`} {2(3a ^{2} +3a ^{} +1)} over {(a+1) sqrt {a ^{2} +a} +a ^{2}}]

[eqn: = lim _{a -> INF } {` {2left(3+ {3} over {a} + {1} over {a ^{2}} right)} over {left(1+ {1} over {a}right ) sqrt {1+ {1} over {a}} +1}]

[eqn: = {2 TIMES 3} over {2} =3}]

7  삼각형 [eqn: rm PAB]에서 밑변을 [eqn: BAR{RMAB}]로 생각하면 높이는 점 [eqn: rmP]와 직선 [eqn: rmAB] 사이의 거리와 같으므로 곡선에 접하고 직선 [eqn: rmAB]에 평행한 접선의 접점이 [eqn: rmP]일 때 삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이가 최대이다.

[eqn: f(x)=-x ^{2} +2x]라 하면 [eqn: f prime(x)=-2x+2]

이때 직선 [eqn: rmAB]의 기울기는 [eqn: {0-(-2)} over {2-0} =1]이므로 직선 [eqn: rmAB]의 방정식은

[eqn: y=x-2]    [eqn: THEREFORE ``x-y-2=0]

기울기가 [eqn: 1]인 접선의 접점의 좌표를 [eqn: (t,~-t^2 +2t)]라 하면

[eqn: f prime(t)=1]에서 [eqn: -2t+2=1]    [eqn: therefore``t= 1over2]

즉, 삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이가 최대일 때의 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: left ( 1over2 , ~3over4right)]이므로 이 점과 직선 [eqn: x-y-2=0] 사이의 거리는

[eqn: {LEFT | {1} over {2} - {3} over {4} -2 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +(-1) ^{2}}} = {9 sqrt {2}} over {8}]

따라서 [eqn: bar{rmAB}][eqn: = sqrt {2^2 +2^2}=2sqrt{2}]이므로 삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이의 최댓값은

[eqn: {1}over{2} times{2sqrt{2}}times{9sqrt{2}}over8 = 9over4]

8  [eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라 하면

[eqn: h'(x) = {f``'(x)} - g'(x)]

이때 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f prime(x)<g prime(x)]이므로

[eqn: h prime(x)<0]

즉, 모든 실수 [eqn: x]에서 함수 [eqn: h(x)]는 감소한다.

난이도별 테스트(상)

또 [eqn: h(0) = f(0)-g(0) =0]이므로 함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

[eqn: x>0]일 때 [eqn: h(x)<0]이므로 [eqn: {f``(x)} <g(x)]

[eqn: therefore``][eqn: f(1)<g(1)], [eqn: f(2)<g(2)]

[eqn: x<0]일 때 [eqn: h(x) >0]이므로 [eqn: {f``(x)}>g(x)]

[eqn: therefore``][eqn: f(-2)>g(-2)], [eqn: f(-1)>g(-1)]

따라서 <보기>에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

9  [eqn: f(x)=x^3 -ax^2 +2ax]에서

[eqn: f'(x)= 3x^2 -2ax+2a]

함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 존재하려면 일대일대응이어야 하고 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 양수이므로 함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 증가해야 한다.

즉, 모든 실수 [eqn: x]에서 [eqn: f'(x) ge 0]이어야 한다.

이차방정식 [eqn: f'(x)=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D le0]이어야 하므로

[eqn: {D} over {4} =a ^{2} -3 times 2a LEQ 0]

[eqn: a(a-6) le 0]    [eqn: THEREFORE] [eqn: 0 LEQ a LEQ 6]

따라서 [eqn: M=6], [eqn: m= 0]이므로

[eqn: M+m=6]

10  [eqn: f(x)=x ^{3} - {3} over {2} ax ^{2} -6a ^{2} x]에서

[eqn: f prime (x)=3x ^{2} -3ax-6a ^{2}][eqn: =3(x+a)(x-2a)]

[eqn: f prime(x)=0]인 [eqn: x]의 값은

[eqn: x=-a] 또는 [eqn: x=2a]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -a]	[eqn: cdots]	[eqn: 2a]	[eqn: cdots]
[eqn: f prime(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: NEARROW]	[eqn: {7} over {2} a ^{3}] 극대	[eqn: SEARROW]	[eqn: -10a^3] 극소	[eqn: NEARROW]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-a]에서 극댓값 [eqn: {7} over {2} a ^{3}], [eqn: x=2a]에서 극솟값 [eqn: -10a^3]을 갖고, 그 차가 [eqn: 4]이므로

[eqn: {7} over {2} a ^{3} -(-10a ^{3} )=4], [eqn: {27} over {2} a ^{3} =4]

[eqn: a^3 = 8 over 27]    [eqn: THEREFORE] [eqn: a= {2} over {3}]

11  점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: }(itx,~y)]라 하면

[eqn: rm {bar{OP}} ^{2}][eqn: =x ^{2} +y ^{2}]

[eqn: = LEFT { t(2-t) RIGHT } ^{2} + LEFT { sqrt {2} (t-1) RIGHT } ^{2}]

[eqn: =t ^{4} -4t ^{3} +6t ^{2} -4t+2]

[eqn: f(t)=t ^{4} -4t ^{3} +6t ^{2} -4t+2]라 하면

[eqn: f prime (t)=4t^{3} -12t^{2} +12t-4=4(t-1)^{3}]

[eqn: f prime (t)=0]인 [eqn: t]의 값은 [eqn: t=1]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: f prime(t)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(t)]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 1] 극소	[eqn: NEARROW]

따라서 함수 [eqn: f(t)]는 [eqn: t=1]에서 최소이므로 점 [eqn: rmP]가 원점 [eqn: rmO]에 가장 가까울 때의 시각은 [eqn: 1]이다.

Ⅱ. 미분

12  방정식 [eqn: f(x)-4=0], 즉 방정식 [eqn: f(x)=4]의 실근의 개수는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=4]의 교점의 개수와 같다.

도함수 [eqn: y=f prime(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: -1], [eqn: 1], [eqn: 3]

[eqn: x=-1], [eqn: x=3]의 좌우에서 [eqn: f prime(x)]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 함수 [eqn: f(x)]는 극솟값 [eqn: f(-1)=3], [eqn: f(3)=-2]를 갖고,

[eqn: x=1]의 좌우에서 [eqn: f prime(x)]의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 함수 [eqn: f(x)]는 극댓값 [eqn: f(1)=5]를 갖는다.

즉, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=4]의 교점의 개수가 [eqn: 4]이므로 방정식 [eqn: f(x)-4=0]의 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

13  [eqn: f(x)=x ^{3} -x]라 하면 [eqn: f prime (x)=3x ^{2} -1]

접점의 좌표를 [eqn: (t,~t ^{3} -t)]라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 [eqn: f prime(t)=3t^2 -1]이므로 이 점에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-(t ^{3} -t)=(3t ^{2} -1)(x-t)]

[eqn: therefore``y=(3t^2 -1)x-2t^3]

이 직선이 점 [eqn: (1,~a)]를 지나므로

[eqn: a=3t^2 -1-2t^3]    [eqn: therefore] [eqn: 2t ^{3} -3t ^{2} +a+1=0]

[eqn: g(t)=2t ^{3} -3t ^{2} +a+1]라 하면

[eqn: g prime (t)=6t ^{2} -6t=6t(t-1)]

[eqn: g prime (t)=0]인 [eqn: t]의 값은 [eqn: t=0] 또는 [eqn: t=1]

함수 [eqn: g(t)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: g prime (t)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g(t)]	[eqn: NEARROW]	[eqn: a+1]	[eqn: SEARROW]	[eqn: a]	[eqn: NEARROW]

삼차방정식 [eqn: g(t)=0]이 서로 다른 세 실근을 가지려면 [eqn: g(0)g(1)<0]이어야 하므로

[eqn: (a+1)a<0]    [eqn: THEREFORE] [eqn: -1<a<0]

따라서 주어진 조건을 만족시키는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: -1<a<0]이다.

14  주어진 방정식에서 [eqn: 2x^3 -6x^2 -18x+1=k]이므로 이 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 함수 [eqn: y=2x ^{3} -6x ^{2} -18x+1]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]의 교점의 개수와 같다.

[eqn: f(x)=2x ^{3} -6x ^{2} -18x+1]이라 하면

[eqn: f prime (x)=6x ^{2} -12x-18][eqn: =6(x+1)(x-3)]

[eqn: f'(x) =0]인 [eqn: x]의 값은 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=3]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]
[eqn: f prime(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 11]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -53]	[eqn: NEARROW]

또 [eqn: f(0)=1]이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

난이도별 테스트(상)

① [eqn: k>11]이면 한 개의 실근을 갖는다.

②, ③ [eqn: -53<k<1]이면 한 개의 음의 실근과 두 개의 양의 실근을 갖고, [eqn: 1<k<11]이면 한 개의 양의 실근과 두 개의 음의 실근을 갖는다.

④ [eqn: k=-53]이면 한 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖는다.

⑤ [eqn: k=11]이면 한 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖는다.

따라서 옳은 것은 ①이다.

15  자동차의 [eqn: t]초 후의 속도를 [eqn: v]라 하면

[eqn: v= {ds} over {dt} =20-5t]([eqn: rmm/s])

자동차가 정지할 때의 속도 [eqn: v]는 [eqn: 0]이므로

[eqn: v=0]에서

[eqn: 20-5t=0]    ∴ [eqn: t=4]

이 자동차가 브레이크를 밟은 후 [eqn: 4]초 동안 움직인 거리는

[eqn: 20times4-2.5times4 ^{2} =40]([eqn: rmm])

따라서 이 자동차가 장애물을 발견하고 장애물에 부딪히지 않으려면 장애물로부터 [eqn: 40`rmm] 이상 떨어진 지점에서 브레이크를 밟아야 하므로

[eqn: a=40]

16  [eqn: t]초 후의 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: (3t,~0)], 점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: (0,~2t)]이므로 직선 [eqn: rm PQ]의 방정식은

[eqn: y=- 2over3 (x-3t)]

[eqn: therefore``y= - 2over3 x +2t]    [eqn: cdotscdots]㉠

두 직선 [eqn: y= - 2over3 x+ 2t], [eqn: y=x]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: - 2over3 x+2t=x]    [eqn: therefore``x= 6over5 t]

즉, 점 [eqn: rmR]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {6} over {5} t,~ {6} over {5} t RIGHT )]이므로 선분 [eqn: rm OR]의 길이를 [eqn: l]이라 하면

[eqn: l= sqrt {LEFT ( {6} over {5} t RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {6} over {5} t RIGHT ) ^{2}} = {6 sqrt {2}} over {5} } t]

[eqn: therefore``][eqn: {dl} over {dt} = {6sqrt{2}} over {5}]

따라서 선분 [eqn: rm OR]의 길이 [eqn: l]의 변화율은 [eqn: {6sqrt{2}}over5]이다.