Ⅲ. 적분

난이도별 테스트(상)	학년 반	맞은 개수
	이름	/16개

1 [eqn: x!=1]인 실수 [eqn: x]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: (x ^{3} -1)f prime (x)+3x ^{2} f(x)=2x+1]

을 만족시키고 [eqn: f(2)=1]일 때, [eqn: f(2026)]의 값은?

①	[eqn: 2025]	②	[eqn: 2026]	③	[eqn: 1over2025]
④	[eqn: 1over2026]	⑤	[eqn: 1]

2 삼차식 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(x)]가 [eqn: (x-1) ^{2}]으로 나누면 나머지가 [eqn: 1]이고, [eqn: (x+1)^2]으로 나누면 나머지가 [eqn: 3]일 때, [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-2)]로 나눈 나머지는?

①	[eqn: 1]	②	[eqn: 3over2]	③	[eqn: 2]
④	[eqn: 5over2]	⑤	[eqn: 3]

3 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 연속인 도함수 [eqn: f prime(x)]에 대하여 [eqn: f prime (x)= {cases{`2x+1~&(x GEQ 1)#~~3a&(-1<x<1)#`x ^{2} +b&(x LEQ -1)}}]이고

[eqn: f(0)=1]일 때, [eqn: a+b+f(2)+f(-1)]의 값은?

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수)

①	[eqn: -3]	②	[eqn: 0]	③	[eqn: 3]
④	[eqn: 6]	⑤	[eqn: 9]

4 삼차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 도함수 [eqn: y=f prime (x)], [eqn: y=g prime (x)]의 그래프가 다음 그림과 같다. 함수 [eqn: h(x)=g(x)-f(x)]에 대하여 [eqn: h(x)]의 극댓값이 [eqn: 2], 극솟값이 [eqn: 0]일 때, [eqn: h(2)]의 값을 구하시오.

Ⅲ. 적분

5 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1]을 만족시키고 [eqn: f prime (0)=-1]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

6 다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)= int _{0} ^{2} {} t LEFT | t-x RIGHT | dt]를 만족시키고 [eqn: f(a)= {14} over {3}]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

(단, [eqn: x LEQ 0])

①	[eqn: -4]	②	[eqn: -3]	③	[eqn: -2]
④	[eqn: -1]	⑤	[eqn: 0]

7 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)]

(나) [eqn: int _{-1} ^{1} {} f(x)dx=k]

(다) [eqn: int _{0} ^{2} {} f(x)dx=k ^{2}]

[eqn: int _{-1} ^{2} {} f(x)dx=3]일 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

①	[eqn: 1over2]	②	[eqn: 1]	③	[eqn: 3over2]
④	[eqn: 2]	⑤	[eqn: 5over2]

8 다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(-x)=f(x)],

[eqn: f(x+2)=f(x)]를 만족시키고

[eqn: INT _{ 0}^{1 }f (x) dx = 2]일 때, [eqn: int _{0} ^{10} {} f(x)dx]의 값은?

①	[eqn: 5]	②	[eqn: 10]	③	[eqn: 20]
④	[eqn: 22]	⑤	[eqn: 24]

난이도별 테스트(상)

9 다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=3x ^{2} + int _{0} ^{1} {} (x-t)f(t)dt]를 만족시킬 때, 함수 [eqn: f(x)]를 구하시오.

10 다음 그림은 이차함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프이다. 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x) = int_x ^x+1 f(t) dt]라 할 때, [eqn: g(x)]의 최솟값은?

①	[eqn: g(1)]	②	[eqn: g(2)]	③	[eqn: g left( 5 over 2 right)]
④	[eqn: g left( 7 over 2 right)]	⑤	[eqn: g(4)]

11 미분가능한 함수 [eqn: f (x)]가 [eqn: f(1)=2], [eqn: f prime (1)=3]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{x -> 1} {`} {1} over {x-1} int _{1} ^{x} { left{f(t)right} ^{2} f prime (t)}dt]을 구하시오.

12 다항함수 [eqn: f (x)]가 모든 정수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: lim _{h -> 0} {`} {1} over {h} int _{x-nh} ^{x+nh} {} f(t)dt=2f(nx)]를 만족시키고

[eqn: f(1) = 1]일 때, [eqn: f left ( 3over2 right )]의 값을 구하시오.

Ⅲ. 적분

13 다음 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y = f (x)], [eqn: y=g(x)]로 둘러싸인 도형의 넓이 [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S _{3}]이

[eqn: 0<S _{1} <S _{2} <S _{3}]일 때, 세 수 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 대소를 비교하시오.

[eqn: A=][eqn: int _{a} ^{b} {} LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } dx]

[eqn: B=][eqn: int _{a} ^{c} {} LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } dx]

[eqn: C=][eqn: int _{a} ^{d} {} LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } dx]

14 원점을 지나는 직선이 [eqn: y]좌표가 [eqn: 2]인 점에서 곡선 [eqn: y = x^3 -x+a]와 접할 때, 이 직선과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

15 다음 그림과 같이 곡선 [eqn: y = x^2 - 2x +k]와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: P], 이 곡선과 [eqn: x]축의 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: Q]라 할 때, [eqn: P:Q=1:2]이다. 이때 상수 [eqn: k]의 값은?

①	[eqn: 1over 3]	②	[eqn: 2 over 3]	③	[eqn: 1over 4]
④	[eqn: 3over 4]	⑤	[eqn: 4over 5]

16 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rmQ]가 있다. 원점을 출발하는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]초에서의 속도는 [eqn: 4t]이고, 좌표가 [eqn: 6]인 점을 출발하는 점 [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]초에서의 속도는 [eqn: 2t+1]이다. 이때 출발 후 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rmQ]가 만나는 시각을 구하시오.