난이도별 테스트(상)

정답과 해설

Ⅲ. 적분

1 ③     2 ⑤    3 ⑤    4 [eqn: 10]    5 [eqn: 3]

6 ④     7 ③     8 ③

9 [eqn: f(x)=3x ^{2} + {9} over {13} x- {17} over {26}]     10 ②   11 [eqn: 12]

12 [eqn: {3} over {2}]     13 [eqn: A<C<B]    14 [eqn: {27} over {4}]    15 ②

16 [eqn: 3]

1  [eqn: (x ^{3} -1)f prime (x)+3x ^{2} f(x)=2x+1]에서

[eqn: {d}over{dx}{left{(x^3 -1)f(x)right}}=2x+1]이므로 양변을 적분하면

[eqn: (x^3 -1)f(x)=int{(2x+1)dx}=x^2 +x+C]

양변에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: 7f(2)=6+C]

[eqn: 7= 6+C]   [eqn: THEREFORE] [eqn: C=1]

즉, [eqn: (x ^{3} -1)f(x)=x ^{2} +x+1]이므로

[eqn: f(x)= {x ^{2} +x+1} over {x ^{3} -1}][eqn: = 1over x-1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(2026)= {1} over {2025}]

2  삼차식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)^2]으로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q _{1} (x)]라 하면

[eqn: f(x)=(x-1) ^{2} Q _{1} (x)+1]    [eqn: cdotscdots]㉠

양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f(1)=1]

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f prime (x)=2(x-1)Q _{1} (x)+(x-1) ^{2} Q _{1} prime (x)]

양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f prime (1)=0]

또 삼차식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x+1)^2]으로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q _{2} (x)]라 하면

[eqn: f(x)=(x+1) ^{2} Q _{1} (x)+3]     [eqn: cdotscdots]㉡

양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면 [eqn: f(-1)=3]

㉡의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f prime (x)=2(x+1)Q _{2} (x)+(x+1) ^{2} Q _{2} prime (x)]

양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면 [eqn: f prime (-1)=0]

즉, [eqn: f prime (x)=a(x+1)(x-1)`]([eqn: a]는 상수, [eqn: a!=0])라 하면

[eqn: f(x)= int _{} ^{} { a(x+1)(x-1)}dx= {a} over {3} x ^{3} -ax+C]

[eqn: f(1)=1]에서 [eqn: a over 3 -a+C=1]

[eqn: f`(-1)=3]에서 [eqn: - a over 3 +a+C=3]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a= 3over2], [eqn: C=2]

따라서 [eqn: f(x)= {1} over {2} x ^{3} - {3} over {2} x+2]이므로 [eqn: f(x)]를

[eqn: (x-2)]로 나눈 나머지는 나머지 정리에 의하여

[eqn: f(2)=4-3+2=3]

3  도함수 [eqn: f prime(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 1-} {f prime(x)} =f prime(1)]에서

[eqn: 3a=2+1]    [eqn: therefore``a=1]

또 도함수 [eqn: f prime(x)]는 [eqn: x=-1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> -1-} {f prime (x)} =f prime (-1)]에서

[eqn: 1+b=3a]    [eqn: THEREFORE ``b=2]

(ⅰ) [eqn: x ge1]일 때, [eqn: f prime(x)=2x+1]이므로

[eqn: f(x)=int{(2x+1)}dx=x^2 +x+C_1]

(ⅱ) [eqn: -1<x<1]일 때, [eqn: f prime(x)=3]이므로

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {3} dx=3x+C _{2}]

Ⅲ. 적분

(ⅲ) [eqn: x le-1]일 때, [eqn: f prime (x)=x ^{2} +2]이므로

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {(x ^{2} +2)} dx= {1} over {3} x ^{3} +2x+C _{3}]

(ⅰ)~(ⅲ)에서 [eqn: f(x)= {cases{~x ^{2} +x+C _{1}&(x GEQ 1)#~~3x+C _{2}&(-1<x<1)#{1} over {3} x ^{3} +2x+C _{3}&(x LEQ -1)}}]

이때 [eqn: f(0)=1]에서 [eqn: C_2 =1]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim_{x->1-}{f(x)}=f(1)]에서

[eqn: 3+C _{2} =1+1+C _{1}]    [eqn: therefore``C _{1} =2]

또 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> -1+} {f(x)} =f(-1)]에서

[eqn: - {1} over {3} -2+C_3 =-3+C_2]    [eqn: therefore``C_3 = 1over3]

즉, [eqn: f(x)= {cases{~~x ^{2} +x+2&(x GEQ 1)#~~~3x+1&(-1<x<1)#{1} over {3} x ^{3} +2x+ {1} over {3}&(x LEQ -1)}}]이므로

[eqn: f(2)=4+2+2=8],

[eqn: f(-1)= - 1over3 -2+ 1over3 = -2]

따라서 [eqn: a=2], [eqn: b=1], [eqn: f(2)=8], [eqn: f(-1)=-2]이므로

[eqn: a+b+f(2)+f(-1)=9]

4  [eqn: h(x)=g(x)-f(x)]에서

[eqn: h prime (x)=g prime (x)-f prime (x)]

[eqn: h prime(x)=0] 즉, [eqn: g prime(x)-f prime(x)=0]인 [eqn: x]의 값은 두 도함수 [eqn: y=f prime(x)], [eqn: y=g prime(x)]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표와 같으므로

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: x=0]의 좌우에서 [eqn: h prime(x)]의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 함수 [eqn: h(x)]는 극댓값 [eqn: h(0)=2]를 갖고,

[eqn: x=1]의 좌우에서 [eqn: h prime(x)]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 함수 [eqn: h(x)]는 극솟값 [eqn: h(1)=0]을 갖는다.

[eqn: h prime (x)=ax(x-1)]([eqn: a]는 상수, [eqn: a>0)]이라 하면

[eqn: h(x)= int _{} ^{} {} h prime (x)dx][eqn: = int _{} ^{} {} ax(x -1)dx]

[eqn: = {a} over {3} x ^{3} - {a} over {2} x ^{2} +C]

[eqn: h(0)=2]에서 [eqn: C=2]

[eqn: h(1)=0]에서 [eqn: a over3 - a over2 +C=0]    [eqn: therefore``a=12]

따라서 [eqn: h(x) = 4x^3 -6x^2 +2]이므로

[eqn: h (2) =32-24+2=10]

5  [eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1]의 양변에

[eqn: x=0], [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: f(0)=f(0)+f(0)-1]    [eqn: therefore] [eqn: f(0)=1]

도함수의 정의에 의하여

[eqn: f prime (x) = lim _{h -> 0} `{{f(x+h)-f(x)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{ f(x)+f(h)+2xh-1 - f(x)} over {h}}]

[eqn: =2x+ lim _{h -> 0} `{{f(h)-f(0)} over {h}}]([eqn: because``f(0)=1])

[eqn: =2x+f prime(0)]

[eqn: =2x-1]

[eqn: therefore``][eqn: f(x)= int _{} ^{} {(2x-1)} dx=x ^{2} -x+C]

이때 [eqn: f(0)=1]이므로 [eqn: C=1]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{2} -x+1]이므로

[eqn: f(2)=4-2+1=3]

6  [eqn: x LEQ 0]이므로

[eqn: f(x)= int _{0} ^{2} {} t(t-x)dt][eqn: = LEFT [ {1} over {3} t ^{3} - {x} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{0}^{2}][eqn: =-2x+ {8} over {3}]

[eqn: f(a)= {14} over {3}]에서 [eqn: -2a+ 8over3 = 14over3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=-1]

난이도별 테스트(상)

7 (가)에서 [eqn: f(-x)=f(x)]이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)} dx=2 int _{-1} ^{0} {f(x)} dx]

(나)에서 [eqn: 2 int _{-1} ^{0} { f(x)}dx=k]    [eqn: therefore`` int _{-1} ^{0} { f(x)}dx= k over2]

[eqn: int _{-1} ^{2} {} f(x)dx=3]의 좌변에서

[eqn: int _{-1} ^{2} {} f(x)dx= int _{-1} ^{0} {} f(x)dx+ int _{0} ^{2} {} f(x)dx]

[eqn: = {k} over {2} +k ^{2}]([eqn: because``](다))

따라서 [eqn: k over2 +k^2 =3]이므로

[eqn: 2k^2 +k-6=0], [eqn: (k+2)(2k-3)=0]

[eqn: therefore] [eqn: k= {3} over {2}] [eqn: ( because] [eqn: k>0)]

8  [eqn: f(-x)=f(x)]이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)} dx=4], [eqn: int _{-1} ^{0} {f(x)} dx=2]

[eqn: f(x+2)=f(x)]이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)} dx= int _{1} ^{3} {f(x)} dx= int _{3} ^{5} {f(x)} dx]

[eqn: = int _{5} ^{7} {f(x)} dx= int _{7} ^{9} {f(x)} dx][eqn: =4]

[eqn: int _{-1} ^{0} {f(x)} dx= int _{1} ^{2} {f(x)} dx= int _{3} ^{4} {f(x)} dx]

[eqn: = int _{5} ^{6} {f(x)}dx =int _{7} ^{8} {f(x)}dx]

[eqn: = int _{9} ^{10} {f(x)}dx =2]

[eqn: therefore``][eqn: int _{0} ^{10} {} f(x)dx]

[eqn: =int_{0}^{1}{f(x)}dx +4int_{-1}^{1}{f(x)}dx+int_{-1}^{0}{f(x)}dx]

[eqn: =2+4 TIMES 4+2=20]

9  [eqn: f(x) = 3x^2 + int from 0 to 1 (x-t)f(t)dt]

[eqn: =3x ^{2} +x int _{0} ^{1} {} f(t)dt- int _{0} ^{1} {} tf(t)dt]

[eqn: int _{0} ^{1} {} f(t)dt=a], [eqn: int _{0} ^{1} {} tf(t)dt=b]([eqn: a], [eqn: b]는 상수)로 놓으면

[eqn: f(x) = 3x^2 + ax - b]    [eqn: cdotscdots]㉠

㉠을 [eqn: int _{0} ^{1} {} f(t)dt=a]에 대입하면

[eqn: int _{0} ^{1} {} (3t ^{2} +at-b)dt=a]

[eqn: LEFT [ t ^{3} + {a} over {2} t ^{2} -bt RIGHT ] _{0}^{1} =a], [eqn: 1 + a over 2 - b =a]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a +2b=2]          [eqn: cdotscdots]㉡

㉠을 [eqn: int _{0} ^{1} {} tf(t)dt=b]에 대입하면

[eqn: int _{0} ^{1} { t(3t ^{2} +at -b)}dt=b], [eqn: int _{0} ^{1} {(3t ^{3} +at ^{2} -bt)} dt=b]

[eqn: left[ 3 over 4 t^4 + a over 3 t^3 - b over 2 t^2 right]_0^1 =b], [eqn: 3 over 4 + a over 3 - b over 2 =b]

[eqn: therefore] [eqn: 4a - 18b =- 9]     [eqn: cdotscdots]㉢

㉡, ㉢을 연립하여 풀면 [eqn: a= {9} over {13}], [eqn: b= {17} over {26}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(x)=3x ^{2} + {9} over {13} x- {17} over {26}]

10  함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축의 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1], [eqn: 4]이므로 [eqn: f(x) = a(x-1)(x-4) `(a>0)]라 하자.

[eqn: g(x) = int_x ^x+1 f(t) dt]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g prime (x)=f(x+1)-f(x)]

[eqn: = ax (x-3) - a (x-1)(x-4)]

[eqn: =2ax-4a]

[eqn: g prime (x)=0]인 [eqn: x]의 값은 [eqn: x = 2]

Ⅲ. 적분

함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: g prime(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

따라서 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x = 2]일 때 극소이고 모든 실수 [eqn: x]에서 [eqn: g(x)geg(2)]이므로 [eqn: g(x)]의 최솟값은 [eqn: g(2)]이다.

11  [eqn: left{f(t)right} ^{2} f prime (t)]의 한 부정적분을 [eqn: F(t)]라 하면

[eqn: lim _{x -> 1} {`} {1} over {x-1} int _{1} ^{x} { left{f(t)right} ^{2} f prime (t)}dt][eqn: = lim _{x -> 1} {`} {F`(x)-F`(1)} over {x-1}]	[eqn: =F` prime (1)]

[eqn: = LEFT { f(1)` RIGHT } ^{2} f prime(1)]

[eqn: =2^2 times3 =12]

12  [eqn: f(t)]의 한 부정적분을 [eqn: F(t)]라 하면

[eqn: lim _{h -> 0} {`} {1} over {h} int _{x-nh} ^{x+nh} {} f(t)dt]

[eqn: = lim _{h -> 0} {`} {F`(x+nh)-F`(x-nh)} over {h}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {`} {F`(x+nh)-F`(x-nh)} over {2nh} times2n]

[eqn: =2nF` prime (x)=2nf(x)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 2nf(x)=2f(nx)]	[eqn: cdotscdots]㉠

이 식의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 2nf(1)=2f(n)]    [eqn: therefore``][eqn: f(n)=n]    [eqn: cdotscdots]㉡

㉠에 [eqn: x= {3} over {2}], [eqn: n=2]를 대입하면

[eqn: 2 times 2 times f LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) =2f LEFT ( 2 times {3} over {2} RIGHT )], [eqn: 2f LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) = {f(3)}]

이때 [eqn: f(3)=3]이므로

[eqn: f LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ={f(3)}over{2}= {3} over {2}]

13  [eqn: S _{1} = int _{c} ^{d} {} LEFT { g(x)-f(x) RIGHT } dx]

[eqn: =-int_{c}^d {left{f(x)-g(x)right}}dx]

[eqn: S _{2} = int _{a} ^{b} {} LEFT { g(x)-f(x) RIGHT } dx][eqn: = -int _{a} ^{b} {} LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } dx]

[eqn: S _{3} = int _{b} ^{c} {} LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } dx]

[eqn: A=][eqn: int _{a} ^{b} {} LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } dx=-S _{2}]

[eqn: B=][eqn: int _{a} ^{c} {} LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } dx]

[eqn: = int _{a} ^{b} {} LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } dx+ int _{b} ^{c} {} LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } dx]

[eqn: =-S _{2} +S _{3}]

[eqn: C=][eqn: int _{a} ^{d} {} LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } dx]

[eqn: = int _{a} ^{b} {} LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } dx+ int _{b} ^{c} {} LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } dx]

[eqn: + int _{c} ^{d} {} LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } dx]

[eqn: =(-S _{2} )+S _{3} +(-S _{1} )]

[eqn: =-S _{1} -S _{2} +S _{3}]

이때 [eqn: 0<S _{1} <S _{2} <S _{3}]이므로

[eqn: A<C<B]

14  [eqn: f(x) = x^3 -x +a]라 하면 [eqn: f' (x) =3x^2 -1]

접점의 좌표를 [eqn: (t,~t ^{3} -t+a)]라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 [eqn: f prime(t)=3t^2 -1]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-(t^3 - t + a ) = (3t^2 - 1)(x-t)]

[eqn: therefore``] [eqn: y= (3t^2 - 1)x - 2t^3 + a]

이 직선이 점 [eqn: (0,~0)]을 지나므로

[eqn: -2t ^{3} +a=0]    [eqn: therefore``a=2t^3]    [eqn: cdotscdots]㉠

난이도별 테스트(상)

접점의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 2]이므로 [eqn: t^3 - t + a = 2]

㉠을 대입하면 [eqn: 3t^3 -t-2=0]

[eqn: (t-1)(3t^2 +3t+2)=0]    [eqn: therefore``] [eqn: t=1]

㉠에 [eqn: t=1]을 대입하면 [eqn: a =2]

즉, 곡선 [eqn: y = x^3 -x +2]와 직선 [eqn: y =2x]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: x^3 -x+2=2x], [eqn: x^3 -3x+2=0]

[eqn: (x-1)^2 (x+2)=0]    [eqn: therefore``][eqn: x=-2] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: -2 LEQ x le 1]에서 [eqn: x^3 -x+2 ge2x]이므로 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S=][eqn: int _{-2} ^{1} { LEFT { (x ^{3} -x+2)-2x RIGHT } }dx]

[eqn: = int _{-2} ^{1} {(x ^{3} -3x+2) } dx]

[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} - {3} over {2} x ^{2} +2x RIGHT ] _{-2}^{1}] [eqn: = {27} over {4}]

15  [eqn: P:Q=1:2]에서 [eqn: Q=2P]

곡선 [eqn: y = x^2 - 2x + k]는 직선 [eqn: x=1]에 대하여 대칭이므로 [eqn: {Q} over {2} =P]

따라서 곡선 [eqn: y = x^2 - 2x + k]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및 [eqn: x=1]로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같으므로

[eqn: int _{0} ^{1} {} (x ^{2} -2x+k)dx=0]

[eqn: LEFT [ {x ^{3}} over {3} -x ^{2} +kx RIGHT ] _{0} ^{1} =0], [eqn: {1} over {3} -1+k=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k= {2} over {3}]

16 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: a]초에서의 위치를 각각 [eqn: x_{ rm P}], [eqn: x _{rm Q}]라 하면

[eqn: x _{rm P it} = int _{0} ^{a} {4t} dt=left[ 2t^2 right]_{0}^{a} = 2a^2][eqn: x _{rm Q} = it6+ int _{0} ^{a} {(2t+1)} dt=6+left[ t^2 +t right]_{0}^{a} =a^2 +a+6]이때 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 만날 때는 [eqn: x_{rmP} =itx_{rmQ}]이므로

[eqn: 2a ^{2} =a ^{2} +a+6]

[eqn: a ^{2} -a-6=0], [eqn: (a+2)(a-3)=0]

[eqn: THEREFORE ``a=3][eqn: ( BECAUSE ``a>0)]

따라서 출발 후 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]가 만나는 시각은

[eqn: t=3]