난이도별 테스트(중)

정답과 해설

Ⅰ. 함수의 극한과 연속

1 ②   2 ③   3 ④   4 [eqn: 2over5]   5 [eqn: 16]   6 [eqn: 3]

7 ②   8 ④   9 ④   10  [eqn: -22]   11 [eqn: 4]

12 ②   13 [eqn: 8]   14 ③   15 [eqn: 1]

16 [eqn: a=1], [eqn: b=-1]   17 ②   18 ③

19 [eqn: -2<a<2]    20 [eqn: 2]개

1  ㄱ. [eqn: lim _{x -> 3+} {`} f(x)= lim _{x -> 3-} {`}f(x)]이므로 [eqn: lim _{x -> 3} {`} f(x)]의

값은 존재한다.

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1-} {`} f(x)= lim _{x -> 1+} {`} f(x)]이므로 [eqn: lim _{x -> 1} {`} f(x)]의 값은 존재한다.

ㄷ. [eqn: lim _{x -> -3+} {`} f(x)= lim _{x -> -3-} {`} f(x)]이므로

[eqn: lim _{x -> -3} {f(x)}]의 값은 존재한다.

ㄹ, ㅁ, ㅂ. [eqn: lim _{x -> 2-} {`} f(x)=2], [eqn: lim _{x -> 2+} {`} f(x)=3], [eqn: f(2) =2]이므로 [eqn: x=2]에서는 좌극한과 우극한은 각각 존재하지만 그 값이 일치하지 않으므로

[eqn: lim_{x->2}{f(x)}]의 값은 존재하지 않는다.

따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ의 [eqn: 5]개이다.

2  ㄱ. [eqn: lim _{x -> 2+} {`} [x]=2], [eqn: lim _{x -> 2-} {`} [x]=1]이므로 [eqn: lim _{x -> 2} {`} [x]]의 값은 존재하지 않는다.

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 3+} {`} {x ^{2} -3x} over {LEFT | x-3 RIGHT |} = lim _{x -> 3+} {`} {x(x-3)} over {x-3} =3]

[eqn: lim _{x -> 3-} {`} {x ^{2} -3x} over {LEFT | x-3 RIGHT |} = lim _{x -> 3-} {`} {x(x-3)} over {-(x-3)} =-3]

즉, [eqn: lim _{x -> 3} {`} {x ^{2} -3x} over {LEFT | x-3 RIGHT |}]의 값은 존재하지 않는다.

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 0+} {x|x|} = lim _{x -> 0+} {x ^{2}} =0]

[eqn: lim _{x -> 0-} {x|`x`|} = lim _{x -> 0-} {(-x ^{2} )} =0]

[eqn: therefore``][eqn: lim _{x->0} {x|`x`|=0}]

따라서 <보기>에서 극한값이 존재하는 것은 ㄷ이다.

3  [eqn: lim _{x -> 1+} {`} f`(x)= lim _{x -> 1+} {`} (2x+1)=3],

[eqn: lim _{x -> 1-} `f(x)= lim _{x -> 1-} `x ^{2} =1]이므로

[eqn: lim _{x -> 1+} {f(x)} - lim _{x -> 1-} {f(x)} =3-1=2]

4  [eqn: 3f(x)-g(x)=h(x)]로 놓으면 [eqn: lim_{x->1}{h(x)}=7]

[eqn: g(x)=3f(x)-h(x)], [eqn: lim_{x->1}{1over{f(x)}}=0]이므로

[eqn: `` lim _{x -> 1} {` {5f(x)-g(x)} over {2f(x)+g(x)}} = lim _{x -> 1} {{5f(x)- LEFT { 3f(x)-h(x) RIGHT }} over {2f(x)+ LEFT { 3f(x)-h(x) RIGHT }}}]

[eqn: = lim _{x->1} {{2f(x)+h(x)}over{5f(x)-h(x)}}]

[eqn: ={lim_{x->2}{2}+lim_{x->1}{{h(x)}over{f(x)}}}over{lim_{x->1}{5}-lim_{x->1}{{h(x)}over{f(x)}}}][eqn: = 2over5]

5  [eqn: lim _{x -> 1} { ` {8(x ^{4} -1)} over {(x ^{2} -1)f(x)}}][eqn: = lim _{x -> 1} {` {8(x ^{2} +1)(x ^{2} -1)} over {(x ^{2} -1)f(x)}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {` {8(x ^{2} +1)} over {f(x)}}][eqn: = {16} over {f(1)}]

따라서 [eqn: {16} over {f(1)}=1]이므로 [eqn: f(1) = 16]

Ⅰ. 함수의 극한과 연속

6  [eqn: lim _{x -> 1} ` {x+ sqrt {x} -2} over {sqrt {x} -1}][eqn: = lim _{x -> 1} {`} {(x+ sqrt {x} -2)( sqrt {x} +1)} over {( sqrt {x} -1)( sqrt {x} +1)}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {`} {x sqrt {x} +2x- sqrt {x} -2} over {x-1}]

[eqn: = lim _{x -> 1} { {sqrt {x} (x-1)+2(x-1)} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {`} {(x-1)( sqrt {x} +2)} over {x-1}]

[eqn: = lim _{x->1} {(sqrt{x}+2)}=3]

7  [eqn: lim _{x -> INF } {`} x LEFT ( 1- {sqrt {x+2}} over {sqrt {x}} RIGHT )]

[eqn: = lim _{x -> INF } { {x( sqrt {x} - sqrt {x+2} )( sqrt {x} + sqrt {x+2} )} over {sqrt {x} ( sqrt {x} + sqrt {x+2} )}]

[eqn: = lim _{x -> INF } {`} {-2x} over {x+ sqrt {x ^{2} +2x}} `]

[eqn: = lim _{x -> INF } {`} {-2} over {1+ sqrt {1+ {2} over {x}}} =-1`]

8  [eqn: lim _{x -> INF } {`} ( sqrt {x ^{2} +x} - sqrt {x ^{2} -3x} )]

[eqn: = lim _{x -> INF } {` {( sqrt {x ^{2} +x} - sqrt {x ^{2} -3x} )( sqrt {x ^{2} +x} + sqrt {x ^{2} -3x} )} over {sqrt {x ^{2} +x} + sqrt {x ^{2} -3x}}}]

[eqn: = lim _{x -> INF } {{4x} over {sqrt {x ^{2} +x} + sqrt {x ^{2} -3x}}}][eqn: = lim _{x->inf} {{4}over{sqrt{1+ 1overx}+sqrt{1- 3overx}}}][eqn: =2]

9  [eqn: x->1]일 때 (분모)[eqn: ->0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ->0]에서

[eqn: lim _{x -> 1} { `(x ^{2} +ax+b)} = 0]    [eqn: therefore] [eqn: b = -a-1]    [eqn: cdots cdots]㉠

㉠을 주어진 식의 좌변에 대입하면

[eqn: lim _{x -> 1} {`{x ^{2} +ax-a-1} over {x-1}}][eqn: = lim _{x -> 1} {{(x-1)(x+a+1)} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {(x+a+1)}]

[eqn: =a+2]

즉, [eqn: a+2=3]이므로 [eqn: a=1]

[eqn: a = 1]을 ㉠에 대입하면 [eqn: b = -2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a-b = 3]

10  [eqn: lim _{x -> 1} {`} {f(x)} over {x-1} =4]에서 [eqn: x->1]일 때 (분모)[eqn: ->0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ->0]에서

[eqn: lim_{x->1}{f(x)}=0]    [eqn: therefore``f(1)=0]

[eqn: lim _{x -> 2} {`} {f(x)} over {x-2} =3]에서 [eqn: x->2]일 때 (분모)[eqn: ->0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ->0]에서

[eqn: lim _{x -> 2} {f(x)} =0]    [eqn: THEREFORE ``f(2)=0]

[eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(ax+b)`]([eqn: a], [eqn: b]는 상수, [eqn: a!=0])라 하면

[eqn: lim _{x -> 1} {`} {f(x)} over {x-1} = lim _{x -> 1} {`} (x-2)(ax+b)][eqn: =-a-b]

[eqn: THEREFORE ``a+b=-4]    [eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: lim _{x -> 2} {`} {f(x)} over {x-2} = lim _{x -> 2} {`} (x-1)(ax+b)][eqn: =2a+b]

[eqn: therefore``2a+b=3]     [eqn: cdots cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=7], [eqn: b = -11]

따라서 [eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(7x-11)]이므로

[eqn: f(0)=-1times(-2)times(-11)=-22]

11 [eqn: 1< 2x+1<f(x)<2x+3]이므로

[eqn: (2x+1) ^{2} < LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} <(2x+3) ^{2}]

난이도별 테스트(중)

[eqn: x ^{2} +1>0]이므로 주어진 부등식의 각 변을 [eqn: x ^{2} +1]로 나누면

[eqn: {(2x+1) ^{2}} over {x ^{2} +1} < {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {x ^{2} +1} < {(2x+3) ^{2}} over {x ^{2} +1}]

이때 [eqn: lim _{x -> INF } {`{(2x+1) ^{2}} over {x ^{2} +1}} =4], [eqn: lim _{x -> INF } {`{(2x+3) ^{2}} over {x ^{2} +1}} =4]이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여

[eqn: lim _{x -> INF } {`{LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} over {x ^{2} +1}} =4]

12  [eqn: rm {bar{OP}} = it sqrt {x ^{2} +2x}], [eqn: {rm bar{OQ}} =it x]이므로

[eqn: lim_{x->inf}{(bar{rmOP}-bar{rmOQ})}][eqn: =lim _{x -> INF } { `( sqrt {x ^{2} +2x} -x)}]	[eqn: = lim _{x -> INF } {`} {x ^{2} +2x-x ^{2}} over {sqrt {x ^{2} +2x} +x} =1]

13  [eqn: f( t) = t^3 - t^2 +1]이므로 두 점 [eqn: rm A it (2], [eqn: 5)],

[eqn: rm P(it t], [eqn: f(t))]를 지나는 직선의 기울기는

[eqn: m(t)= {f(t)-5} over {t-2} = {t ^{3} -t ^{2} -4} over {t-2}]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{t -> 2} {`m(t)}][eqn: = lim _{t -> 2} {`{t ^{3} -t ^{2} -4} over {t-2}}]

[eqn: = lim _{t -> 2} {`{(t-2)(t ^{2} +t+2)} over {t-2}}]

[eqn: = lim _{t -> 2} {`(t ^{2} +t+2)}][eqn: =8]

14 ㄱ. [eqn: lim _{x -> -1-} {`f(x)=- {1} over {2}}], [eqn: lim _{x -> -1+} { `f(x)=-2}]

즉, [eqn: lim _{x -> -1} { `f(x)}]의 값은 존재하지 않는다.

ㄴ, ㄷ, ㄹ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 정의되지 않으므로 연속이 아니다.

또 [eqn: x = 1]일 때 [eqn: lim _{x -> 1} {`f(x)=2}], [eqn: f(1)=1]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이 아니다.

즉, 불연속인 [eqn: x]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 1]의 [eqn: 2]개이다.

따라서 <보기>에서 옳지 않은 것은 ㄱ, ㄹ이다.

15  함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x = 1]에서 연속이면

[eqn: lim _{x -> 1} {`f(x)=f(1)}]이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {` {x ^{2} +(b-1)x-b} over {x+a}}][eqn: =3a-b]    [eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: x->1]일 때 (분자)[eqn: ->0]이고, 극한값이 존재하므로

(분모)[eqn: ->0]에서

[eqn: lim _{x -> 1} {`(x+a)} =0]    [eqn: therefore] [eqn: a=-1]

[eqn: a = -1]을 ㉠의 좌변에 대입하면

[eqn: lim _{x -> 1} {`{x ^{2} +(b-1)x-b} over {x-1}}][eqn: = lim _{x -> 1} {`{(x-1)(x+b)} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {`(x+b)} =1+b]

즉, [eqn: 1+b=-3-b]이므로 [eqn: b=-2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a-b=1]

16  함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x = 1]에서 연속이면

[eqn: lim _{x -> 1+} {f(x)= lim _{x -> 1-} { f(x)}} =f(1)]이므로

[eqn: lim _{x -> 1+} {`f(x)} = lim _{x -> 1+} {`(x ^{2} +ax-2)} =a-1],

[eqn: lim _{x -> 1-} {`f(x)} = lim _{x -> 1-} {`(x+b)} =b+1], [eqn: f(1)=a-1]

[eqn: a-1=b+1]에서 [eqn: a-b = 2]        [eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: x = -1]에서 연속이면

[eqn: lim _{x -> 1+} {f(x)= lim _{x -> 1-} { f(x)}} =f(-1)]이므로

[eqn: lim _{x -> -1+} {`f(x)} = lim _{x -> -1+} {`(x+b)} =b-1]

Ⅰ. 함수의 극한과 연속

[eqn: lim _{x -> -1-} {`f(x)} = lim _{x -> -1-} {`(x ^{2} +ax-2)} =-a-1]

[eqn: f(-1)=-a-1]

[eqn: -a-1 = -1+b]에서 [eqn: a+b = 0]    [eqn: cdots cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=1], [eqn: b=-1]

17  [eqn: x!=1]일 때, 함수 [eqn: f(x)]를 구하면

[eqn: f(x) = {sqrt{x+ 8 }-3} over x-1]

함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이면 [eqn: x = 1]에서 연속이므로

[eqn: f(1)= lim _{x->1} {{sqrt{x+8}-3}over{x-1}}][eqn: = lim _{x -> 1} {`{x-1} over {(x-1)( sqrt {x+8} +3)}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {` {1} over {sqrt {x+8} +3}}][eqn: = 1 over 6]

18  ① 함수 [eqn: g(x)]가 연속이면 함수 [eqn: 2g(x)]도 연속이므로 함수 [eqn: f(x)+2g(x)]도 연속이다.

② [eqn: f(x)+g(x)=h(x)]로 놓으면

[eqn: g(x)=h(x)-f(x)]

이때 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: h(x)]가 연속이므로 함수 [eqn: g(x)]도 연속이다.

③ [반례] [eqn: f(x)=0], [eqn: g(x)= {cases{-1&(x GEQ 0)#~1&(x<0)}}]이면

[eqn: f(x)g(x)=0]

즉, 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: f(x)g(x)]가 연속이지만 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이다.

④ 임의의 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: g(a)=b]라 하면 함수 [eqn: g(x)]가 연속이므로 [eqn: lim _{x->a} {g(x)}=b]

즉, [eqn: g(x)=t]로 놓으면 [eqn: x->a]일 때 [eqn: t->b]이므로

[eqn: lim_{x->a}{f(g(x))}=lim_{x->a}{f(t)}=f(b)]

([eqn: BECAUSE] 함수 [eqn: f(x)]가 연속)

이때 [eqn: f(g(x))(a)=f(b)]이므로

[eqn: lim_{x->a}{f(g(x))}=f(g(a))]

따라서 함수 [eqn: f(g(x))]는 [eqn: x=a]에서 연속이다.

⑤ [eqn: left{g(x)right}^2 +1>0]이므로 함수 [eqn: {f(x)} over {left{g(x)right}^2 +1}]도 연속이다.

따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

19  [eqn: f(x) = x ^{3} -3x+a]라 하면 함수 [eqn: f(x)]는 닫힌구간 [eqn: [-1,~1]]에서 연속이고

[eqn: f(-1)=a+2], [eqn: f(1)=a-2]

이때 방정식 [eqn: f(x)=0]이 열린구간 [eqn: (-1,~1)]에서 적어도 하나의 실근을 가지려면 [eqn: f(-1)f(1)<0]이어야 하므로

[eqn: (a+2)(a-2)<0]    [eqn: therefore] [eqn: -2<a<2]

20  [eqn: g(x) = f(x)-x]라 하면 함수 [eqn: g(x)]는 닫힌구간 [eqn: [-2,~2]]에서 연속이고

[eqn: g(-2) = f(-2)-(-2) = 3>0]

[eqn: g(-1) = f(-1)-(-1) = 1>0]

[eqn: g(0) = f(0)-0 = -2<0]

[eqn: g(1) = f(1)-1 = -2<0]

[eqn: g(2) = f(2)-2 = 1>0]

이므로 사잇값 정리에 의하여 방정식 [eqn: g(x)=0]은 열린구간 [eqn: (-1,~ 0)], [eqn: (1,~2)]에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다.

따라서 방정식 [eqn: g(x)=0], 즉 [eqn: f(x)-x=0]은 열린구간 [eqn: (-2,~2)]에서 적어도 [eqn: 2]개의 실근을 갖는다.