Ⅱ. 미분

난이도별 테스트(중)	학년 반	맞은 개수
	이름	/20개

1 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f prime(2) =3]일 때,

[eqn: lim _{x -> 2} {`{x ^{3} -8} over {f(x)-f(2)}}]의 값을 구하시오.

2 다음은 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x = a]에서 미분가능하면 [eqn: x = a]에서 연속임을 증명하는 과정이다.

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하면 미분계수 [eqn: f prime (a)}=lim _{x -> a} { {f(x)-f(a)} over {x-a} }]가 존재하므로

[eqn: lim _{x->a} {` LEFT { f(x)-f(a) RIGHT }}]

[eqn: = lim _{x->a} {` LEFT { {f(x)-f(a)} over {x-a} TIMES (x-a) RIGHT }}][eqn: =] (가)

따라서 [eqn: lim _{x -> a} {`f(x)=}] (나) 이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = a]에서 연속이다.

(가), (나)에 알맞은 것을 구하시오.

3 함수 [eqn: f(x)=x ^{3}]에 대하여

[eqn: f prime (a+ theta h)= {f(a+h)-f(a)} over {h}]를 만족시킬 때,

[eqn: lim _{h -> 0} {`} theta]의 값은? (단, [eqn: a>0], [eqn: h>0], [eqn: theta >0])

①	[eqn: 1]	②	[eqn: 1 over 2]	③	[eqn: 1 over 3]
④	[eqn: 1 over 4]	⑤	[eqn: 1 over 5]

4 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 2} {{f(x)-9}over{x^2 -4}}= 7over4]일 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오.

5 함수 [eqn: f(x)= {cases{a(x-4) ^{2} +b&`~(x ge2)#~~~~~~x^2&~(x < 2)}}]가 [eqn: x = 2]에서 미분가능할 때, [eqn: f ( 3 )]의 값은?

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수)

①	[eqn: 4]	②	[eqn: 5]	③	[eqn: 6]
④	[eqn: 7]	⑤	[eqn: 8]

Ⅱ. 미분
6 다항식 [eqn: x ^{8} +ax+b]를 [eqn: (x-1) ^{2}]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 3x+5]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오. 7 곡선 [eqn: y = x^3 - 11x +3]에 접하고 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: 45 DEG]인 직선의 방정식을 구하시오. 8 곡선 [eqn: y=x^2] 위의 점 [eqn: (-2,````4)]에서의 접선이 곡선 [eqn: y= x^3 +ax-2]에 접할 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.	9 두 곡선 [eqn: y=2x^3 +ax+b], [eqn: y=ax ^{2} +bx+1]이 [eqn: x=-1]인 점에서 공통인 접선을 가질 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오. 10 함수 [eqn: f(x)=-x ^{3} +ax ^{2} -3x+4]가 구간 [eqn: (- INF ,~ INF )]에서 감소하도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오. 11 함수 [eqn: f(x)=ax ^{3} +2bx ^{2} +3cx-1]이 [eqn: x=1]에서 극댓값을 갖고, [eqn: x=3]에서 극솟값을 갖는다. 극댓값과 극솟값의 차가 [eqn: 4]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a>0])

난이도별 테스트(중)

12 다음 그림은 미분가능한 함수 [eqn: y=f`(x)]의 그래프이다. 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: g(x)=x ^{2} f(x)]일 때,

[eqn: g prime (-2)]의 값은?

①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]
④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

13 삼차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: y= f prime (x)]의 그래프가 아래 그림과 같을 때, 다음 옳은 것은?

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: -1<x<1]에서 증가한다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극댓값, [eqn: x=1]에서 극솟값을 갖는다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극솟값, [eqn: x=1]에서 극댓값을 갖는다.

[eqn: f(-1)<f(1)]이다.

14 삼차함수 [eqn: f(x)=ax ^{3} -3(a ^{2} +1)x ^{2} +12ax]가 극값을 가지 않도록 하는 실수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

15 다음 그림과 같이 곡선 [eqn: y=12-x ^{2}]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분에 내접하고 한 변이 [eqn: x]축 위에 있는 직사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이의 최댓값은?

①	[eqn: 22]	②	[eqn: 24]	③	[eqn: 28]
④	[eqn: 32]	⑤	[eqn: 36]

Ⅱ. 미분

16 곡선 [eqn: y=x ^{3} -3x ^{2} -5x+1]과 직선 [eqn: y=-2x-a]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오.

17 [eqn: x>0]일 때, 부등식 [eqn: x ^{3} -6x ^{2} +9x+k>0]을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는?

①	[eqn: k>0]	②	[eqn: k<0]	③	[eqn: k>3]
④	[eqn: k<3]	⑤	[eqn: 3<k<6]

18 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: RMP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x`]가 [eqn: x= alpha t ^{2} +beta t]이다. [eqn: t=0]에서의 속도가 [eqn: 3], 가속도가 [eqn: -24]일 때, 상수 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: alpha+beta]의 값은?

①	[eqn: -9]	②	[eqn: -2]	③	[eqn: 4]
④	[eqn: 17]	⑤	[eqn: 38]

19 직선 도로를 달리는 기차가 제동을 건 후 [eqn: t]초 동안 움직인 거리 [eqn: S]는 [eqn: S=27t-0.45t ^{2}]일 때, 이 기차가 제동을 건 후 정지할 때까지 걸린 시간은?

①	[eqn: 20]초	②	[eqn: 25]초	③	[eqn: 30]초
④	[eqn: 35]초	⑤	[eqn: 40]초

20 한 변의 길이가 [eqn: RM8]인 정삼각형의 각 변의 길이가 매초 [eqn: 0.5]씩 늘어날 때, [eqn: 8]초 후의 정삼각형의 넓이의 변화율을 구하시오.