난이도별 테스트(중)

정답과 해설

Ⅲ. 적분

1 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x= {1} over {3}]    2 ④    3 [eqn: -3]

4 ②    5 ③    6 [eqn: -3]    7 [eqn: 2]    8 [eqn: -55]

9 ①    10 ③    11 [eqn: 3]    12 ③    13 [eqn: 9]

14 ③   15 ①    16 [eqn: {3} over {4}]    17 ④    18 ③

19 [eqn: 8]    20 ①

1 [eqn: int _{} ^{} {LEFT { {d} over {dx} f(x) RIGHT }} dx=f(x)+C`]이므로

[eqn: f(x)+C=x ^{2}]   [eqn: THEREFORE] [eqn: f(x)=x ^{2} -C]

[eqn: f(2x)-f(x-1)=0]에서

[eqn: (2x) ^{2} -C- LEFT { (x-1) ^{2} -C RIGHT }=0]

[eqn: 3x ^{2} +2x-1=0], [eqn: (x+1)(3x-1)=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x= {1} over {3}]

2  [eqn: f(x)= int _{} ^{} {f prime } (x)dx= int _{} ^{} {} (4x ^{3} +3x ^{2} +2x+1)dx]

[eqn: =x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} +x+C _{1}]

[eqn: g(x)= int _{} ^{} {g prime } (x)dx= int _{} ^{} {f prime } (x)dx]

[eqn: =x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} +x+C _{2}]

이때, [eqn: f(1)-g(1)=1]이므로

[eqn: C _{1} -C _{2} =1]    [eqn: THEREFORE] [eqn: C _{1} =C _{2} +1]

① [eqn: f(1)=4+C _{1} != 1]    ② [eqn: g(1)=4+C _{2} != 0]

③ [eqn: f(0)-g(0)=C _{1} -C _{2} =1 != 0]

④ [eqn: f(2)-g(2)=C _{1} -C _{2} =1]

⑤ [eqn: f(3)-g(3)=C _{1} -C _{2}=1 != 3]

따라서 항상 옳은 것은 ④이다.

3  곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (x,~f(x))]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3x ^{2} -2x]이므로

[eqn: f prime (x)=3x ^{2} -2x]

[eqn: therefore``][eqn: f(x) = int _{} ^{} {(3x ^{2} -2x)} dx][eqn: =x ^{3} -x ^{2} +C]

이때 곡선 [eqn: y=f(x)]가 점 [eqn: (2,````1)]을 지나므로

[eqn: f(2)=1]에서 [eqn: 8-4+C=1]    [eqn: therefore``][eqn: C=-3]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{3} -x ^{2} -3]이므로

[eqn: f(0)=-3]

4  [eqn: F`(x)=xf(x)-6x ^{3} (x-1)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)=f(x) + x{ f prime} (x) -24 x^3 + 18x^2]

[eqn: xf prime (x)=x(24x ^{2} -18x)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f prime (x)=24x^2 -18x]

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {f prime } (x)dx]이므로

[eqn: f(x)][eqn: = int _{} ^{} {} (24x ^{2} -18x)dx][eqn: =8x ^{3} -9x ^{2} +C]

이때 [eqn: f`(1)=0]에서

[eqn: 8-9+C=0]   [eqn: therefore] [eqn: C=1]

따라서 [eqn: f(x)=8x ^{3} -9x ^{2} +1]이므로

[eqn: f(-1)=-8-9+1=-16]

5  [eqn: LEFT . f(x)= {cases{x ^{2} -x+C _{1}&(x GEQ 1)#`~~x ^{3} +C _{2} ~&(x<1)}} RIGHT .]

이때 [eqn: f(0)=-2]에서 [eqn: C _{2} =-2]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x->1-} {f(x)}=f(1)]에서

[eqn: 1+C_2 =1-1+C_1]

[eqn: 1+(-2)=C_1]    [eqn: therefore``][eqn: C_1 =-1]

Ⅲ. 적분

따라서 [eqn: LEFT . f(x)= {cases{x ^{2} -x-1&(x GEQ 1)#`~~x ^{3} -2~&(x<1)}} RIGHT .]이므로

[eqn: `f(2)=4-2-1=1]

6  [eqn: f(x)= int _{0} ^{1} {(3t ^{2} x ^{2} +4tx-1)} dt]

[eqn: = LEFT [ t ^{3} x ^{2} +2t ^{2} x-t RIGHT ] _{0}^{1}]

[eqn: =x ^{2} +2x-1][eqn: =(x+1) ^{2} -2]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 최솟값 [eqn: -2]를 가지므로

[eqn: a=-1], [eqn: b=-2]

[eqn: therefore``a+b=-1+(-2)=-3]

7 [eqn: f(x)=ax(x-1)(x-2)+1`]([eqn: a !=0]인 실수)라 하면

[eqn: int _{0} ^{2} {} f(x)dx= int _{0} ^{2} {} lbrace ax(x-1)(x-2)+1 rbrace dx]

[eqn: = int _{0} ^{2} {(ax ^{3} -3ax ^{2} +2ax+1)} dx]

[eqn: = LEFT [ {a} over {4} x ^{4} -ax ^{3} +ax ^{2} +x RIGHT ] _{0} ^{2} RIGHT .]

[eqn: = 4a-8a+4a+2]

[eqn: =2]

8  [eqn: int _{0} ^{1} { f prime (t)}dt=k]([eqn: k]는 상수)로 놓으면

[eqn: f(x)=x ^{3} -12x+4k]이므로 [eqn: f prime(x)=3x ^{2} -12]

[eqn: int _{0} ^{1} { f prime (t)}dt=k]에서 [eqn: int _{0} ^{1} {(3x ^{2} -12)} dx=k]

[eqn: LEFT [ x^3 -12x RIGHT ]_{0}^{1}=k]    [eqn: therefore] [eqn: k=-11]

따라서 [eqn: f(x)=x^3 -12x-44]이므로

[eqn: f(1)=1-12-44=-55]

9  [eqn: f(x) = 1+ int_-1 ^1 (x^2 -t) f (t) d t]

[eqn: = 1+x ^{2} int _{-1} ^{1} {} f(t)dt- int _{-1} ^{1} {} tf(t)dt]

[eqn: int _{-1} ^{1} {} f(t)dt = a], [eqn: int _{-1} ^{1} {} tf(t)dt = b]([eqn: a], [eqn: b]는 상수)로 놓으면 [eqn: f(x)=ax ^{2} +1-b]이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(t)}dt=a]에서 [eqn: int _{-1} ^{1} {(at ^{2} +1-b)}dt=a]

[eqn: 2 int _{0} ^{1} {(at ^{2} +1-b)} dt=a], [eqn: 2 LEFT [ {a} over {3} t ^{3}+ (1-b)t RIGHT ] _{0} ^{1}=a]

[eqn: 2 LEFT ( {a} over {3} +1-b RIGHT ) =a]    [eqn: therefore] [eqn: a=-6b+6]    [eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: int _{-1} ^{1} {} tf(t)dt = b]에서 [eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT { at ^{3} +(1-b)t RIGHT }} dt=b]

[eqn: therefore] [eqn: b=0]

이를 ㉠에 대입하면 [eqn: a = 6]

따라서 [eqn: f(x) = 6x^2 +1]이므로 [eqn: f(0) =1]

10  [eqn: g(t)= LEFT | t RIGHT |]라 하면

[eqn: f(x)= int _{-1} ^{x ^{2}} {g(t)}dt]

이 등식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f prime (x)=g(x ^{2} ) times 2x]

[eqn: therefore``][eqn: f prime (1)=g(1) times 2=2]

11 [eqn: F` prime (x)=f(x)]라 하면

[eqn: lim _{x -> 1} {} ` {1} over {x-1} int _{1} ^{x ^{3}} {f(t)} dt]

[eqn: = lim _{x -> 1} {{1} over {x-1}} LEFT [ F(t) RIGHT ] _{1}^{x ^{3}}][eqn: = lim _{x -> 1} `{{F`(x ^{3} )-F`(1)} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {} ` {F`(x ^{3} )-F`(1)} over {x ^{3} -1} TIMES lim_{x->1}(x ^{2} +x+1)]

[eqn: =3F` prime (1)][eqn: =3f(1)=3(1-2+1+1)=3]

난이도별 테스트(중)

12  [eqn: f(x)=x LEFT | x-2 RIGHT |]라 하면

[eqn: f(x)][eqn: = {cases{`~`x ^{2} -2x & (x GEQ 2)#`-x ^{2} +2x~&(x<2)}}]

즉, 곡선 [eqn: y=x|x-2|]의 그래프는 다음 그림과 같으므로 곡선과 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=3]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= int _{0} ^{2} {} (-x ^{2} +2x)dx+ int _{2} ^{3} {} (x ^{2} -2x)dx]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} +x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2} + LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} RIGHT ] _{2} ^{3}]

[eqn: = -{8} over {3} +4+ 9-9-left({8} over {3} -4right)= {8} over {3}]

13  곡선 [eqn: y = x^2]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면

[eqn: y= -x^2]

이 곡선을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 5]만큼 평행이동하면

[eqn: y-5=-(x+1) ^{2}]

[eqn: therefore``y=-x ^{2} -2x+4]

두 곡선 [eqn: y =x^2], [eqn: y = -(x+1)^2 +5]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: x^2 = -(x+1)^2 +5], [eqn: 2x ^{2} +2x-4=0]

[eqn: 2(x+2)(x-1) = 0]

[eqn: therefore] [eqn: x=-2] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: -2 lex le1]에서 [eqn: -(x+1)^2 +5 ge x^2]이므로 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= int _{-2} ^{1} {} LEFT { (-x ^{2} -2x +4 ) -x^2 RIGHT } dx]

[eqn: = INT _{ -2}^{ 1}(-2x^2 -2x+4)`dx]

[eqn: = LEFT [ - {2} over {3} x ^{3} -x ^{2} +4x RIGHT ] _{-2} ^{1}][eqn: =9]

14  곡선 [eqn: y = x^2 +2k]와 직선 [eqn: y=(k+2)x]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: x^2 + 2k = (k+2) x]

[eqn: x^2 -(k+2)x +2k = 0]

[eqn: (x-k)(x-2) = 0]

[eqn: therefore] [eqn: x=k] 또는 [eqn: x = 2]

[eqn: k le x le2]에서 [eqn: (k+2)x gex^2 +2k]이므로 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= int _{k} ^{2} { LEFT { (k+2)x-(x ^{2} +2k) RIGHT } }dx]

[eqn: = int _{k} ^{2} {LEFT { -x ^{2} +(k+2)x-2k RIGHT }} dx]

[eqn: = LEFT [ - 1over3 x^3 +{k+2}over{2} x^2 -2kx RIGHT ]_{k}^{2}][eqn: = {(2-k) ^{3}} over {6}]

따라서 [eqn: {(2-k)^3}over{6}=36]이므로

[eqn: (2-k )^3 =216], [eqn: 2-k=6]    [eqn: therefore] [eqn: k = -4]

15  [eqn: f(x)= x^3 -3x^2 +x+4]라 하면

[eqn: f prime (x)=3x ^{2} -6x+1]

점 [eqn: (0 , ~4)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: f'(0) =1]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-4=x]    [eqn: therefore``][eqn: y = x+4]

Ⅲ. 적분

곡선 [eqn: y = x^3 -3x^2 +x+4]와 직선 [eqn: y =x+4]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: y=x+4]

[eqn: x^3 - 3x^2 + x+ 4 = x+4] [eqn: x^3 -3 x^2 =0][eqn: x^2 (x-3) =0]

[eqn: therefore] [eqn: x = 0] 또는 [eqn: x=3]

[eqn: 0lex le3]에서 [eqn: x+4 gex^3 -3x^2 +x+4]이므로 구하는 넓이 [eqn: S]라 하면

[eqn: S=][eqn: int _{0} ^{3} {} LEFT { (x+4)-(x ^{3} -3x ^{2} +x+4) RIGHT } dx]

[eqn: =int_{0}^{3}{(-x^3 +3x^2 )}dx][eqn: =left[ - 1over4 x^4 +x^3 right]_{0}^{3}][eqn: = 27over4]

16  [eqn: 0lex le1]에서 [eqn: ax(1-x)ge x^4 -x^3]이므로 두 곡선 [eqn: y=x ^{4} -x ^{3}], [eqn: y=ax(1-x)]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_1]이라 하면

[eqn: S_1][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT { ax(1-x)-(x ^{4} -x ^{3} ) RIGHT }} dx]

[eqn: = int _{0} ^{1} { (-x^4 +x^3 -ax^2 +ax )} dx]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {5} x ^{5} + {1} over {4} x ^{4} - {1} over {3} ax ^{3} + {1} over {2} ax ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: = 1over6 a+ 1over20]

[eqn: 0lex le1]에서 [eqn: -x^4 +x geax(1-x)]이므로 두 곡선 [eqn: y=-x ^{4} +x], [eqn: y=ax(1-x)]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_2]라 하면

[eqn: S_2 = int _{0} ^{1} {LEFT { -x ^{4} +x-ax(1-x) RIGHT } dx}]

[eqn: = int _{0} ^{1} { left{-x^4 +ax^2 +(1-a)x right}} dx]

[eqn: =LEFT [ - {1} over {5} x ^{5} + {1} over {3} ax ^{3} + {1-a} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: =- 1over6 a+ 3over10]

주어진 조건에서 [eqn: S_1 =S_2]이므로

[eqn: 1over6 a+ 1over20 = - 1over6 a+ 3over10]    [eqn: THEREFORE] [eqn: a= {3} over {4}]

17  두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이고 [eqn: f(1)=1], [eqn: g(2)=9]이므로 [eqn: g(1)=1], [eqn: g(9)=2]이다.

[eqn: C]

[eqn: B]

[eqn: A]

[eqn: int_{1}^{2}{f(x)}dx=A], [eqn: int _{1} ^{9} {g(x)} dx=B]라 하면 위의 그림에서 [eqn: B][eqn: =][eqn: C]이므로

[eqn: int _{1} ^{2} {} f(x)dx+ int_1^9`g (x) d x][eqn: =][eqn: A+C]

[eqn: = 2 times 9 - 1 times 1 =17]

18  자동차 [eqn: rm A]의 처음 위치를 [eqn: 0], 속도를 [eqn: v` rm m/s]이라 하면

[eqn: t]초 후의 자동차 [eqn: rm A]의 위치는 [eqn: vt`rmm]

[eqn: t]초 후의 자동차 [eqn: rm B]의 위치는

[eqn: 27+ int _{0} ^{t} {} s ^{2} ds=27+left[ 1over3 s^3 right]_{0}^{t}=27+ {1} over {3} t ^{3} `( rm m)]

두 자동차가 동시에 출발한 지 [eqn: 3]초 후의 위치가 같으므로

[eqn: 3v=27+ {1} over {3} TIMES 3 ^{3}]

[eqn: ∴] [eqn: v=12`]([eqn: rm m/s])

난이도별 테스트(중)

19 [eqn: t = 0]에서 [eqn: t = 4]까지 점 [eqn: rm P]가 움직인 거리는

[eqn: int _{0} ^{4} {} LEFT | -t ^{2} +2t RIGHT | dt]

[eqn: = int _{0} ^{2} { (-t ^{2} +2t)}dt+ int _{2} ^{4} { (t ^{2} -2t)}dt]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {3} t^3 +t ^{2} RIGHT ] _{0}^{2} + LEFT [ {1} over {3} t^3 -t ^{2} RIGHT ] _{2}^{4} =8]

20

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmE]

[eqn: rmD]

ㄱ. [eqn: v(t) = 0]인 [eqn: t]의 값은

[eqn: t=2] 또는 [eqn: t=4]

즉, [eqn: 0<t<7]에서 운동 방향을 두 번 바꾼다.

ㄴ. 출발 후 [eqn: t=3]까지 움직인 거리는

[eqn: int_{0}^{3}{|`v(t)`|}dt=][eqn: triangle rmOAB +triangle BCD]

[eqn: = 1over2 times2times2 + 1over2 times1 times2 =3]

ㄷ. [eqn: t=4]에서의 위치는

[eqn: 0+ int _{0} ^{4} {v(t)} dt][eqn: = int _{0} ^{2} {v(t)} dt+ int _{2} ^{4} {v(t)} dt]

[eqn: = TRIANGLE rm OAB- TRIANGLE BCE]

[eqn: = {1} over {2} TIMES 2 TIMES 2- {1} over {2} TIMES 2 TIMES 2=0]

즉, [eqn: t=4]일 때 원점에 있다.

따라서 옳은 것은 ㄱ이다.