난이도별 테스트(하)

정답과 해설

Ⅰ. 함수의 극한과 연속

1 ⑴ [eqn: 2] ⑵ [eqn: -3] ⑶ [eqn: -INF] ⑷ [eqn: INF]

2 ⑴ [eqn: INF] ⑵ [eqn: 0] ⑶ [eqn: -INF] ⑷ [eqn: 1]

3 [eqn: a=3], [eqn: b=-3]   4 ④   5 ㄴ, ㄷ   6 [eqn: -4]

7 [eqn: 5]   8 ③   9 [eqn: 2]   10 [eqn: {1} over {2}]   11 ⑤   12 ③

13 [eqn: a=4], [eqn: b=3]   14 [eqn: a=3], [eqn: b=6]   15 ③

16 [eqn: -1]   17 ④

18  함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

19 ②   20 ⑤   21 [eqn: 1]   22 ㄱ, ㄴ, ㄷ

22 최댓값: [eqn: 3], 최솟값: [eqn: 1]   24 [eqn: a<0]

3  [eqn: lim _{x -> 1+} {`f(x)}][eqn: = lim _{x -> 1+} {` {x ^{3} -1} over {LEFT | x-1 RIGHT |}}]

[eqn: = lim _{x -> 1+} {` {(x-1)(x ^{2} +x+1)} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x -> 1+} {`(x ^{2} +x+1)} =3]

[eqn: therefore] [eqn: a=3]

[eqn: lim _{x -> 1-} {`f(x)}][eqn: = lim _{x -> 1-} {` {x ^{3} -1} over {LEFT | x-1 RIGHT |}}]

[eqn: = lim _{x -> 1-} {` {(x-1)(x ^{2} +x+1)} over {-(x-1)}}]

[eqn: = lim _{x -> 1-} {`(-x ^{2} -x-1)} =-3]

[eqn: therefore] [eqn: b=-3]

4 [eqn: lim from { x -> a}`f(x)]의 값이 존재하려면

[eqn: lim _{x -> a+} {`} f(x)= lim _{x -> a-} {`} f(x)]이어야 하므로 [eqn: lim _{x -> a} {`} f(x)]의 값이 존재하는 것은 ④번이다.

5  ㄱ. [eqn: lim _{x -> 0+} {{|x|} over {x}} = lim _{x -> 0+} {{x} over {x}} = lim _{x -> 0+} {1} =1]

[eqn: lim _{x -> 0-} {{|x|} over {x}} = lim _{x -> 0-} {{-x} over {x}} = lim _{x -> 0-} {(-1)} =-1]

ㄴ. [eqn: lim_{x->0+}{(x^3 +2)}=lim_{x->0-}{(x^3 +2)}=2]

ㄷ. [eqn: lim_{x->0+}{sqrt{x+3}}=lim_{x->0-}{sqrt{x+3}}=sqrt{3}]

따라서 <보기>에서 [eqn: lim_{x`->`0}{f(x)}]의 값이 존재하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.

6  [eqn: lim_{x->0}{{2x-f(x)}over{x+f(x)}} =lim_{x->0}{{2-{f(x) overx}}over{1+{f(x) overx}}}]

[eqn: ={lim_{x->0}{2}-lim_{x->0}{{f(x)}over{x}}}over{lim_{x->0}{1}+lim_{x->0}{{f(x)}over{x}}}]

[eqn: ={2-(-2)}over{1+(-2)}=-4]

7   [eqn: 2f(x)-g(x)=h(x)]로 놓으면 [eqn: lim_{x->1}{h(x)}=7]

[eqn: g(x)=2f(x)-h(x)]이므로

[eqn: `` lim _{x -> 1} {` {3f(x)-2g(x)} over {2f(x)+g(x)}} = lim _{x -> 1} {{3f(x)-2 LEFT { 2f(x)-h(x) RIGHT }} over {2f(x)+ LEFT { 2f(x)-h(x) RIGHT }}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {{-f(x)+h(x)} over {4f(x)-h(x)}}]

[eqn: = {- lim _{x -> 2} {f(x)} + lim _{x -> 1} {h(x)}} over {4 lim _{x -> 1} {f(x)} - lim _{x -> 1} {h(x)}}][eqn: =5]

Ⅰ. 함수의 극한과 연속

8  분자를 유리화하면

[eqn: lim _{x -> 1} ` {x-1} over {sqrt {x} -1}][eqn: = lim from { x -> 1} `{(x -1) (sqrtx +1)} over {(sqrtx -1)(sqrtx +1)}]

[eqn: =lim_{x->1}{{(x-1)(sqrt{x}+1)}over{x-1}}]

[eqn: = lim from { x -> 1}` (sqrtx +1) =2]

9  분모, 분자를 분모의 최고차항인 [eqn: x^2]으로 각각 나누면

[eqn: lim _{x -> INF } {` {2x ^{2} -x+3} over {x ^{2} +2x-5}}][eqn: = lim _{x -> INF } {` {2- {1} over {x} + {3} over {x ^{2}}} over {1+ {2} over {x} - {5} over {x ^{2}}}}][eqn: =2]

10  분모를 [eqn: 1]로 보고 분자를 유리화하면

[eqn: lim _{ x->inf } {` (sqrt{x^2 +x}-x) }][eqn: =lim _{ x->inf } {` {(sqrt{x^2 +x}-x) (sqrt{x^2 +x }+x)}over{sqrt{x^2 +x}+x]

[eqn: = lim _{ x->inf } {` x over{sqrt{x^2 +x} +x }][eqn: = lim _{x -> INF } {` {1} over {sqrt {1+ {1} over {x}} +1}}][eqn: = {1} over {2}]

11  [eqn: lim _{x -> INF } {`} ( sqrt {x ^{2} +2x} - sqrt {x ^{2} -2x+1} )]

[eqn: = lim _{x -> INF } {`} {( sqrt {x ^{2} +2x} ) ^{2} -( sqrt {x ^{2} -2x+1} ) ^{2}} over {sqrt {x ^{2} +2x} + sqrt {x ^{2} -2x+1}}]

[eqn: = lim _{x -> INF } {`} {4x-1} over {sqrt {x ^{2} +2x} + sqrt {x ^{2} -2x+1}}]

[eqn: = lim _{x -> INF } {`} {4- {1} over {x}} over {sqrt {1+ {2} over {x}} + sqrt {1- {2} over {x} + {1} over {x ^{2}}}}][eqn: =2]

12  [eqn: 3- {3} over {x}]을 통분한 후 약분하면

[eqn: lim _{x -> 1} {`} {1} over {x-1} LEFT ( 3- {3} over {x} RIGHT )][eqn: = lim _{x -> 1} {`} {left{ {1} over {x-1} TIMES {3(x-1)} over {x} right }}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {`} {3} over {x} =3]

13 [eqn: x->1]일 때 (분모)[eqn: ->0]이고, [eqn: 0]이 아닌 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ->0]에서 [eqn: lim _{x -> -1} {`(x ^{2} +ax+b)} =0]

[eqn: therefore``b=a-1]    [eqn: cdotscdots]㉠

㉠을 주어진 식의 좌변에 대입하면

[eqn: lim _{ x->-1 } {` {x^2 +ax +a-1}overx+1 }][eqn: =lim _{ x->-1 } { {(x+1)(x+a-1)}overx+1}]

[eqn: = lim _{ x->-1} {`(x+a-1)][eqn: =a-2]

즉, [eqn: a-2=2]이므로 [eqn: a=4]

이를 ㉠에 대입하면 [eqn: b=4-1=3]

14  [eqn: x->1]일 때 (분모)[eqn: ->0]이고, [eqn: 0]이 아닌 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ->0]에서 [eqn: lim _{x -> 1} {`(a sqrt {x+3} -b)} =0]

[eqn: therefore] [eqn: b = 2a]    [eqn: cdotscdots]㉠

㉠을 주어진 식의 좌변에 대입하면

[eqn: lim _{x -> 1} {`{a sqrt {x+3} -2a} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {`{a( sqrt {x+3} -2)( sqrt {x+3} +2)} over {(x-1)( sqrt {x+3} +2)}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {`{a} over {sqrt {x+3} +2}}][eqn: = {a} over {4}]

즉, [eqn: a over4 = 3over4]이므로 [eqn: a=3]

이를 ㉠에 대입하면 [eqn: b=2times3=6]

난이도별 테스트(하)

15  [eqn: x>0]일 때, 주어진 부등식의 각 변을 [eqn: x]로 나누면

[eqn: {2x-3}over{x}<{f(x) overx}<{2x+5 overx}]

이때 [eqn: lim _{x -> INF } {`} {2x-3} over {x} =2], [eqn: lim _{x -> INF } {{2x+5 overx}} =2]이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여

[eqn: lim _{x -> INF } {`} f(x)=2]

16  [eqn: x ^{2} >0]이므로 주어진 부등식의 각 변을 [eqn: x ^{2}]으로 나누면

[eqn: {-x^2 -1} over {x^2 }le f(x) le {-x^2 +3}over{x^2 }]

이때 [eqn: lim_{x->inf}{{-x^2 -1}overx^2 } =-1], [eqn: lim _{x -> INF } {{-x ^{2} +3} over {x ^{2}}} =-1]이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여

[eqn: lim _{x->inf} {f(x)}=-1]

17  [eqn: f(x)]는 [eqn: 2x-1<0], 즉 [eqn: x < 1over2]에서 정의되지 않으므로 함수 [eqn: f(x)]가 연속인 구간은 ④ [eqn: left[ 1over2 ,~infright)]이다.

18  [eqn: f(1)=4], [eqn: lim _{x->1+} {(-x+5)}=4], [eqn: lim_{x->1}{(3x+1)}=4]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

19  (ⅰ) [eqn: f(1)=2],

[eqn: lim _{x -> 1+} { `f(x)=2}], [eqn: lim _{x -> 1-} {`f(x)=1}]이므로

[eqn: lim _{x -> 1-} {`f(x)} != lim _{x -> 1+} {`f(x)}]

즉, 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 불연속이다.

(ⅱ) [eqn: f(2)=3]

[eqn: lim _{x -> 2+} {`f(x)=2}], [eqn: lim from { x -> 2-} {` f (x) = 2]이므로

[eqn: lim from { x -> 2} {` f (x) = 2]

즉, [eqn: lim _{x -> 2} {` f(x) != f(2)}]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 불연속이다.

(ⅲ) [eqn: f(3)=3], [eqn: lim_{x->3+}{f(x)}=3], [eqn: lim_{x->3-}{f(x)}=3]

즉, [eqn: lim_{x->3}{f(x)}=f(3)]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=3]에서 연속이다.

(ⅰ)~(ⅲ)에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 극한값이 존재하지 않고, [eqn: x=1], [eqn: x=2]에서 불연속이므로

[eqn: a=1], [eqn: b=2]    [eqn: therefore] [eqn: a-b = 1-2 = -1]

20  함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속이면 [eqn: lim _{ x->1 } {` f(x) } =f (1)]이므로

[eqn: lim_{x->1}{{x^2 +x-2}over{x^3 -1}} =a]

[eqn: therefore] [eqn: a][eqn: = lim _{x -> 1} {` {x ^{2} +x-2} over {x ^{3} -1}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} { {(x+2)(x-1)} over {(x-1)(x ^{2} +x+1)}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} { {x+2} over {x ^{2} +x+1}} =1]

21  [eqn: x!=2]일 때, 함수 [eqn: f(x)]를 구하면

[eqn: f(x)={x ^{2} +3x+a}over{x+1}]

함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이면 [eqn: x=-1]에서 연속이므로 [eqn: f(-1)=lim _{x->-1} {f(x)}]에서

[eqn: f(-1)=lim _{{x->-1}} {{x ^{2} +3x+a}over{x+1}}]    [eqn: cdotscdots]㉠

Ⅰ. 함수의 극한과 연속

[eqn: x -> -1]일 때 (분모)[eqn: ->0]이고, 극한값이 존재하므로 (분모)[eqn: ->0]에서 [eqn: lim _{x -> -1} {`(x ^{2} +3x+a)} =0]

[eqn: therefore] [eqn: a=2]

[eqn: a=2]를 ㉠에 대입하면

[eqn: f(-1)= lim _{x -> -1} { {x ^{2} +3x+2} over {x+1}} =lim_{x->-1}{{(x+1)(x+2)}over{x+1}}]

[eqn: =lim_{x->-1}{(x+2)}=1]

22 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]는 다항함수이므로 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이다.

ㄱ. 두 함수 [eqn: 2f(x)], [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이므로 함수 [eqn: 2f(x)-g(x)]도 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이다.

ㄴ. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이므로 함수 [eqn: f(x)g(x)]도 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이다.

ㄷ. [eqn: {g(x)}over{f(x)}= {x-3}over{x^2 +1}]에서 [eqn: x^2 +1>0]이므로 함수 [eqn: g(x) overf(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이다.

ㄹ. [eqn: f(x) overg(x) = {x^2 +1}over{x-3}]은 [eqn: x-3=0], 즉 [eqn: x=3]에서 정의되지 않으므로 함수 [eqn: {f(x) overg(x)}]는 [eqn: x=3]에서 불연속이다.

따라서 <보기>의 함수에서 모든 실수 [eqn: x]에서 연속인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

24  [eqn: f(x)=x ^{2} -ax-1]이라 하면 함수 [eqn: f(x)]는 닫힌구간 [eqn: [0], [eqn: 1]]에서 연속이고

[eqn: f(0)=-1], [eqn: f(1)=-a]

이때 방정식 [eqn: f(x)=0]이 열린구간 [eqn: (0,~1)]에서 적어도 하나의 실근을 가지려면 [eqn: f(0)f(1)<0]이어야 하므로

[eqn: (-1) TIMES (-a)<0]    [eqn: THEREFORE] [eqn: a<0]