난이도별 테스트(하)

정답과 해설

Ⅱ. 미분

1 [eqn: 5]    2 ②    3 ④    4  [eqn: -{1} over {4}]

5 [eqn: x=-2]에서 연속이지만 미분가능하지 않다.

6 ⑴ [eqn: 1] ⑵ [eqn: 14]    7 [eqn: 15]   8 ④   9 [eqn: 3]

10 ②   11 ②   12 [eqn: y=-x-1]

13 [eqn: y=-x]   14 [eqn: 2]   15 ③   16 풀이 참조

17 [eqn: -7]   18 ①    19 [eqn: k<0] 또는 [eqn: k>3]

20 [eqn: 2]   21 [eqn: 3]   22 속도: [eqn: 24` rm], 가속도: [eqn: 6 rm `]

23 [eqn: 24]   24 [eqn: 14` rm cm/s]

1  함수 [eqn: f(x)]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: a]까지 변할 때의 평균변화율은

[eqn: {DELTA y} over {DELTA x} = {f(a)-f(1)} over {a-1}][eqn: = {a ^{2} +a+1-3} over {a-1}]

[eqn: = {(a+2)(a-1)} over {a-1}][eqn: =a+2]

따라서 [eqn: a+2=7]이므로 [eqn: a = 5]

2  함수 [eqn: f(x)]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 4]까지 변할 때, [eqn: f(x)]의 평균변화율은

[eqn: {DELTA y} over {DELTA x} = {f(4)-f(1)} over {4-1} ={15-0}over{3}=5]    [eqn: therefore``a=5]

함수 [eqn: f(x)]의 [eqn: x=5]에서의 미분계수는

[eqn: f`prime(x)=][eqn: lim _{DELTA x -> 0} {` {f(5+DELTA x)-f(5)} over {DELTA x}}]

[eqn: = lim _{DELTA `x -> 0} {` {(5+ DELTA `x) ^{2} -1-(5 ^{2} -1)} over {DELTA `x}}]

[eqn: = lim _{DELTA x -> 0} {` {( DELTA x) ^{2} +10 DELTA x} over {DELTA x}}][eqn: = lim _{DELTA x -> 0} {(DELTA x +10)}=10]

따라서 [eqn: b=10]이므로 [eqn: a+b=5+10=15]

3  [eqn: lim _{h -> 0} {` {f(1+h)-f(1)+f(1)-f(1-h)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {` {f(1+h)-f(1)} over {h} +}][eqn: lim _{h -> 0} {` {f(1-h)-f(1)} over {-h}]

[eqn: =2f prime (1)=4]

4  [eqn: lim _{x -> 2} {{f(x)-f(2)} over {x ^{2} -4}}=lim_{x->2}{{f(x)-f(2)}over{(x+2)(x-2)}}]

[eqn: =lim_{x->2}{left{ 1over{x+2} times {f(x)-f(2)}over{x-2}} right}]

[eqn: =lim_{x->2} {1over{x+2}} timeslim_{x->2}{{f(x)-f(2)}over{x-2}}]

[eqn: = 1over4 timesf prime(2)=- 1over4]

5 (ⅰ) [eqn: f(-2)=1]

[eqn: lim _{x -> -2+} {`f(x)} = lim _{x -> -2+} {(x ^{2} -3)} =1]

[eqn: lim _{x -> -2-} {`f(x)} = lim _{x -> -2-} {(-x-1)} =1]

[eqn: THEREFORE `` lim _{x->-2} {f(x)}=1]

즉, [eqn: lim _{x -> -2} {f(x)} = f(-2)]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-2]에서 연속이다.

(ⅱ) [eqn: lim _{h -> 0+} {{f(-2+h)-f(-2)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{(-2+h) ^{2} -3- LEFT { (-2) ^{2} -3 RIGHT }} over {h}}]

[eqn: =lim_{h->0+}{{h^2 -4h}over{h}}=lim_{h->0+}{(h-4)}=-4]

Ⅱ. 미분

[eqn: lim _{h -> 0-} {{f(-2+h)-f(-2)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0-} {{-(-2+h)-1- LEFT { -(-2)-1 RIGHT }} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0+} {{-h}over{h} = lim _{h -> 0+} {(-1)} =-1]

즉, [eqn: f prime(-2)]의 값이 존재하지 않으므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-2]에서 미분가능하지 않다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = -2]에서 연속이지만 미분가능하지 않다.

6  (1) [eqn: f` prime (x)=4x^3 -3]이므로 [eqn: f prime(1)=4-3=1]

(2) [eqn: f prime (x)=2x(x+1)+(x ^{2} -2)=3x ^{2} +2x-2]이므로 [eqn: f prime (2)=12+4-2=14]

7  [eqn: f(x)=x^6 +x^5 +x^4]라 하면 [eqn: f(1)=3]이므로

[eqn: lim _{x->1} {{x^6 +x^5 +x^4 -3}over{x-1}}=lim_{x->1}{{f(x)-f(1)}over{x-1}}=f prime(1)]

이때 [eqn: f prime (x)=6x ^{5} +5x ^{4} +4x ^{3}]이므로

[eqn: f prime (1)=6+5+4=15]

8  함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하면 [eqn: x=1]에서 연속이고 미분계수 [eqn: f prime (1)]이 존재한다.

(ⅰ) [eqn: lim_{x->1-}{f(x)}=f(1)]이므로

[eqn: a+b=4]    [eqn: cdotscdots]㉠

(ⅱ) [eqn: lim _{h -> 0+} {{f(1+h)-f(1)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h->0+} {{3(1+h)^2 +1-(3+1)}over{h}}]

[eqn: =lim_{h->0}{{3h^2 +6h}over{h}}]

[eqn: =lim_{h->0}{(3h+6)}=6]

[eqn: lim _{h -> 0-} {{f(1+h)-f(1)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0-} {{a(1+h)+b-(a+b)} over {h}}]

[eqn: =lim_{h->0-}{ah overh} =lim_{h->0-}{a} =a]

[eqn: therefore``a=6]

이를 ㉠에 대입하여 정리하면 [eqn: b=4-6=-2]

[eqn: THEREFORE ``a-b=6-(-2)=8]

9  [eqn: f(x) = 2x^2 +4x-3]이라 하면 [eqn: f prime (x)=4x+4]

점 [eqn: (a , ~ 2a^2 +4a-3)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 16]이므로 [eqn: f prime(a)=16]에서

[eqn: 4a+4 = 16]   [eqn: therefore] [eqn: a = 3]

10  [eqn: f(x)= x^3 -3x^2 -7x+6]이라 하면

[eqn: f'(x)= 3x^2 -6x -7=3(x-1)^2 -10]

따라서 접선의 기울기의 최솟값은 [eqn: -10]이다.

11  [eqn: f(x) = x^2 -x +3]이라 하면 [eqn: f prime (x)=2x-1]

점 [eqn: rm (2,~5)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: f prime(2)][eqn: =4-1=3]

따라서 구하는 접선의 방정식은

[eqn: y-5 = 3 ( x-2)]    [eqn: THEREFORE] [eqn: y = 3x-1]

12  [eqn: f(x) = x^4 - 3x]라 하면 [eqn: f'(x)=4x^3 -3]

점 [eqn: (1,~-2)]에서의 접선의 기울기는

[eqn: f prime (1)=4-3=1]

따라서 이 접선에 수직인 직선의 기울기는 [eqn: -1]이므로 구하는 직선의 방정식은

[eqn: y-(-2)=-(x-1)]    [eqn: therefore] [eqn: y=-x-1]

난이도별 테스트(하)

13  [eqn: f(x)=-x ^{3} +2x+2]라 하면 [eqn: f prime (x)=-3x ^{2} +2]

접점의 좌표를 [eqn: (t,~-t ^{3} +2t+2)]라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 [eqn: f prime(t)=-3t ^{2} +2]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-(-t^3 +2t+2)=(-3t^2 +2)(x-t)]

[eqn: therefore``y=(-3t ^{2} +2)x+2t ^{3} +2]    [eqn: cdotscdots]㉠

이 직선이 원점을 지나므로

[eqn: 0=2t ^{3} +2]    [eqn: therefore``t=-1]([eqn: because``t]는 실수)

따라서 [eqn: t]의 값을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 [eqn: y=-x]이다.

14  함수 [eqn: f`(x)=-x^2 +4x `]는 닫힌구간 [eqn: [0,~4]]에서 연속이고 열린구간 [eqn: (0,~4)]에서 미분가능하며

[eqn: f(0)=f(4)=0]이므로 [eqn: f prime (c)=0]인 [eqn: c]가 열린구간 [eqn: (0,~4)]에 적어도 하나 존재한다.

[eqn: f'(x) = -2x+ 4]이므로 [eqn: f prime (c)=0]에서

[eqn: -2c+4=0]    [eqn: therefore] [eqn: c=2]

15

[eqn: {f(b)-f(a)} over {b-a}]는 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 두 점 [eqn: (a,~f(a))], [eqn: (b,~f(b))]를 잇는 직선의 기울기이고, [eqn: f prime(c)]는 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: x=c]인 점에서의 접선의 기울기이다.

[eqn: (a,~f(a))], [eqn: (b,~f(b))]를 잇는 직선과 평행한 접선을 [eqn: 2]개 그을 수 있으므로 주어진 조건을 만족시키는 상수 [eqn: c]는 [eqn: 2]개다.

16  [eqn: f(x)=2x^3 +3x^2 -4]에서

[eqn: f'(x)=6x^2 +6x][eqn: =6x(x+1)]

[eqn: f'(x)=0]인 [eqn: x]의 값은 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=0]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]
[eqn: f prime(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: NEARROW]	[eqn: -3]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -4]	[eqn: NEARROW]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: (- INF ,~-1 RIGHT ]], [eqn: LEFT [ 0,~ INF )]에서 증가하고, 구간 [eqn: LEFT [ -1,~0 RIGHT ]]에서 감소한다.

17  [eqn: f(x)=3x^4 -4x^3 -12x^2 +10]에서

[eqn: f'(x)][eqn: = 12x^3 -12x^2 -24x][eqn: =12x(x+1)(x-2)]

[eqn: f'(x)=0]인 [eqn: x]의 값은

[eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: f prime(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 5]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 10]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -22]	[eqn: NEARROW]

따라서 모든 극값의 합은 [eqn: 5+10+(-22)= -7]

18 함수 [eqn: y=f prime (x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 하자.

(ⅰ) [eqn: x=a], [eqn: x=c]의 좌우에서 [eqn: f prime(x)]의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a], [eqn: x=c]에서 극대이다.

Ⅱ. 미분

(ⅱ) [eqn: x=b]의 좌우에서 [eqn: f prime(x)]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=b]에서 극소이다.

(ⅲ) [eqn: x=0], [eqn: x=d]의 좌우에서 [eqn: f prime(x)]의 부호가 바뀌지 않으므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0], [eqn: x=d]에서 극값을 갖지 않는다.

(ⅰ)~(ⅲ)에서 [eqn: m=2], [eqn: n=1]이므로 [eqn: m-n=1]

19  [eqn: f(x)=x^3 -kx^2 +kx+1]에서

[eqn: f prime (x)=3x ^{2} -2kx+k]

함수 [eqn: f(x)]가 극값을 가지려면 이차방정식 [eqn: f prime (x)=0]이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 이차방정식 [eqn: f prime(x)=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D>0]에서

[eqn: D over 4 = k ^{2} -3k>0]

[eqn: k(k-3)>0]    [eqn: therefore] [eqn: k<0] 또는 [eqn: k>3]

20  [eqn: f(x)=2x ^{3} -3x ^{2} +a]에서

[eqn: f prime (x)=6x^{2} -6x=6x(x-1)]

[eqn: f prime (x)=0]인 [eqn: x]의 값은 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=1]

구간 [eqn: [-1,~1]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]
[eqn: f prime(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]
[eqn: f(x)]	[eqn: a-5]	[eqn: NEARROW]	[eqn: a] 극대	[eqn: SEARROW]	[eqn: a-1]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: a-5]이므로

[eqn: a-5 = -3]    [eqn: therefore] [eqn: a=2]

21  [eqn: f(x)=x ^{3} +3x ^{2} -2]이라 하면

[eqn: f prime (x)=3x ^{2} +6x=3x(x+2)]

[eqn: f'(x) = 0]인 [eqn: x]의 값은 [eqn: x=-2] 또는 [eqn: x=0]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -2]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]
[eqn: f prime(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 2]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -2]	[eqn: NEARROW]

[eqn: y=f(x)]

따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 [eqn: x]축과 서로 다른 세 점에서 만나므로 주어진 방정식은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

22  시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 속도를 [eqn: v], 가속도를 [eqn: a]라 하면

[eqn: v= {dx} over {dt} =-3t ^{2} +18t], [eqn: a= {dv} over {dt} =-6t+18]

따라서 [eqn: t=2]에서의 점 [eqn: rm P]의 속도는

[eqn: v=-12+36=24]

[eqn: t=2]에서의 점 [eqn: rm P]의 가속도는 [eqn: a=-12+18=6]

23  시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rm P]의 속도를 [eqn: v]라 하면

[eqn: v={dx} over {dt}][eqn: =-3t^2 -12t+36]

점 [eqn: rmP]가 운동방향을 바꾸는 순간의 속도는 [eqn: 0]이므로

[eqn: v=0]에서 [eqn: -3t^2 -12t+36=0]

[eqn: -3(t+6)(t-2)=0]    [eqn: THEREFORE ``t=2]([eqn: because``t>0])

따라서 [eqn: t=2]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치는

[eqn: x=-8-24+72-16=24]

24  [eqn: {dl} over {dt} =6t+2]

따라서 [eqn: t=2]에서의 고무줄의 길이의 변화율은

[eqn: 6 times 2+ 2 = 14 `rm ( cm / s)]