난이도별 테스트(하)

정답과 해설

Ⅲ. 적분

1 ㄱ, ㄹ

2 ⑴ [eqn: f(x)=6x-5] ⑵ [eqn: f(x)=12x ^{2} -4x]

3 [eqn: a=9], [eqn: b=3], [eqn: c=2]

4 ⑴ [eqn: {1} over {3} x ^{3} +x ^{2} +x+C] ⑵ [eqn: {1} over {4} x ^{4} +x+C]

5 [eqn: {1} over {2} x ^{2} -x+C]   6 ③   7 [eqn: 1]

8 ⑴ [eqn: {23} over {6}] ⑵ [eqn: {33} over {4}]   9 [eqn: - {1} over {2}]

10 ⑴ [eqn: 6] ⑵ [eqn: - {105} over {4}]   11 [eqn: 20]   12 ③   13 ④

14 ⑴ [eqn: x^2 -2x-3] ⑵ [eqn: x^2 -3x-4]   15 [eqn: {1} over {3}]

16 ③   17 [eqn: {23} over {3}]   18 ③   19 ②   20 ④

21 [eqn: {76} over {3}]   22 ⑴ [eqn: 4] ⑵ [eqn: 1] ⑶ [eqn: 1]   23 [eqn: 5over6]   24 ①

3  [eqn: {d} over {dx} int _{} ^{} {} (ax ^{2} +3x+2)dx=ax^2 +3x+2]이므로

[eqn: ax ^{2} +3x+2=9x ^{2} +bx+c]

위의 등식이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하므로

[eqn: a=9], [eqn: b=3], [eqn: c=2]

4  (1) [eqn: int _{} ^{} {(x+1) ^{2}}dx][eqn: = int _{} ^{} {(x^2 + 2x +1)} dx]

[eqn: ={1} over {3} x ^{3} +x ^{2} +x+C]

(2) [eqn: int _{} ^{} {(x+1)(x ^{2} -x+1)}dx][eqn: = int _{} ^{} {(x^3 +1)} dx]

[eqn: ={1} over {4} x ^{4} +x+C]

5  [eqn: int _{} ^{} {{x ^{2}} over {x+1}} dx- int _{} ^{} {{1} over {x+1}} dx]

[eqn: = int _{} ^{} {{x ^{2} -1} over {x+1}} dx][eqn: = int _{} ^{} {{(x+1)(x-1)} over {x+1} dx}]

[eqn: = int _{} ^{} {(x-1)} dx]

[eqn: = {1} over {2} x ^{2} -x+C]

6  [eqn: f(x)= int _{} ^{} {} (99x ^{98} +97x ^{96} +95x ^{94} + CDOTS +1)dx]

[eqn: =x ^{99} +x ^{97} +x ^{95} + CDOTS +x+C]

[eqn: f(0)=1]이므로 [eqn: C=1]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{99} +x ^{97} +x ^{95} + CDOTS +x+1]이므로

[eqn: f(1)=51]

7  곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (x,~f(x))]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 4x ^{3} +2x+1]이므로

[eqn: f prime(x)=4x^3 +2x+1]

[eqn: THEREFORE ``f(x)= int _{} ^{} {f prime(x)}dx][eqn: = int _{} ^{} {(4x^3 +2x+1)}dx]

[eqn: =x^4 +x^2 +x+C]

이때 곡선 [eqn: y=f(x)]가 점 [eqn: (1,~1)]을 지나므로 [eqn: f(1)=1]에서

[eqn: 1+1+1+C=1]    [eqn: therefore``C=-2]

따라서 [eqn: f(x)=x^4 +x^2 +x-2]이므로

[eqn: f (-1)=1+1+1-2=1]

8  (1) [eqn: int _{-1} ^{0} {} (x ^{2} -x+3)dx= LEFT [ {1} over {3} x ^{3} - {1} over {2} x ^{2} +3x RIGHT ] _{-1} ^{0}]

[eqn: =- LEFT ( - {23} over {6} RIGHT ) = {23} over {6}]

Ⅲ. 적분

(2) [eqn: int _{2} ^{3} {} (y-2)(y ^{2} +2y+4)dy]

[eqn: = int _{} ^{} {(y^3 -8)}dy][eqn: = LEFT [ {1} over {4} y ^{4} -8y RIGHT ] _{2}^{3}]

[eqn: = left(81 over4 -24right)-(4-16)][eqn: = {33} over {4}]

9 [eqn: int _{k} ^{0} {(2x+1)} dx= LEFT [ x ^{2} +x RIGHT ] _{k}^{0} =-k ^{2} -k]

즉, [eqn: -k^2 -k= 1over4]이므로

[eqn: 4k ^{2} +4k+1=0], [eqn: (2k+1) ^{2} =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k=- {1} over {2}]

10   (1) [eqn: int _{-1} ^{0} {(x ^{3} +2x+3)} dx+ int _{0} ^{1} {(x ^{3} +2x+3)} dx]

[eqn: = int _-1 ^1 (x^3 +2x+3 )dx][eqn: = left [ 1 over4 x^4 + x^2 +3x right ] _-1^1]

[eqn: =left(1over4 +1+3right)-left(1over4 +1-3right)=6]

(2) [eqn: int _{-2} ^{0 ^{}} {(x ^{3} -6x ^{2} +3x)} dx][eqn: + int _{0} ^{1} {(x ^{3} -6x ^{2} +3x)} dx]

[eqn: = int _-2^1 (x^3 -6x^2 +3x )dx][eqn: = left [ 1over4 x^4 -2x^3 + 3 over2 x^2 right ] _-2 ^1]

[eqn: =left( 1over4 -2 + 3over2right)-(4+16+6) =- {105} over {4}]

11  [eqn: int _{-2} ^{0} {f(x)} dx- int _{1} ^{0} {f(x)} dx+ int _{1} ^{2} {f(x)} dx]

[eqn: = int _{-2} ^{0} {f(x)} dx+ int _{0} ^{1} {f(x)} dx+ int _{1} ^{2} {f(x)} dx]

[eqn: = int _{-2} ^{2} {f(x)} dx][eqn: = int _{-2} ^{2} {(3x ^{2} +2x+1)} dx]

[eqn: = LEFT [ x ^{3} +x ^{2} +x RIGHT ] _{-2} ^{2}][eqn: =(8+4+2)-(-8+4-2)=20]

12  [eqn: x+|`x`|+1= {cases{2x+1&(x GEQ 0)#~~``1&(x<0)}}]이므로

[eqn: int _{-1} ^{2} {} (x+ LEFT | x RIGHT | +1)dx][eqn: = int _{-1} ^{0} {} 1dx+ int _{0} ^{2} {} (2x+1)dx]

[eqn: = LEFT [ x RIGHT ] _{-1}^{0} + LEFT [ x ^{2} +x RIGHT ] _{0}^{2}]

[eqn: =-(-1)+(4+2)=7]

13  [eqn: int _{-1} ^{1} {} x(1-x) ^{2} dx]

[eqn: = int _{-1} ^{1} {} (x ^{3} -2x ^{2} +x)dx]

[eqn: = int _{-1} ^{1} { (x ^{3} +x)}dx+int _{-1} ^{1} { (-2x ^{2})}dx][eqn: =0+2 int _{0} ^{1} {(-2x ^{2} )} dx]

[eqn: =2 LEFT [ - {2} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0}^{1}=- 4over3]

14  (1) [eqn: {d}over{dx} int _{1} ^{x} {(t ^{2} -2t-3)} dt =x^2 -2x-3]

(2) [eqn: {d}over{dx} int _{3} ^{x} {(y+1)(y-4)dy}]

[eqn: ={d}over{dx} int _{3} ^{x} {(y^2 -3y-4)dy}][eqn: =x^2 -3x-4]

15  주어진 등식의 양변에 [eqn: x=a]를 대입하면

[eqn: int _{a} ^{a} {f(t)dt=6a ^{2} +a-1]

[eqn: 0=6a^2 +a-1], [eqn: (2a+1)(3a-1)=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a= {1} over {3}][eqn: (because``a>0)]

난이도별 테스트(하)

16  주어진 등식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: (x-1)f(x)=x ^{3} -1]    [eqn: THEREFORE] [eqn: f(x)=x ^{2} +x+1]

[eqn: therefore``][eqn: f(1)=1+1+1=3]

17  곡선 [eqn: y=x^2 -4x]와 [eqn: x]축의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: x^2 -4x=0], [eqn: x(x-4)=0]

[eqn: therefore``x=0] 또는 [eqn: x=4]

[eqn: -1lex le0]에서 [eqn: y ge0]이고, [eqn: 0le x le2]에서 [eqn: y le0]이므로 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= int _{-1} ^{0} {(x ^{2} -4x)} dx+ int _{0} ^{2} {LEFT { -(x ^{2} -4x) RIGHT }} dx]

[eqn: = int _{-1} ^{0} {(x ^{2} -4x)} dx+ int _{0} ^{2} {(-x ^{2} +4x)} dx]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} RIGHT ] _{-1}^{0} + LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} +2x ^{2} RIGHT ] _{0}^{2}][eqn: = {23} over {3}]

18 곡선 [eqn: y=x^2 (x-1)]과 [eqn: x]축의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: x^2 (x-1)=0]

[eqn: therefore``x=0] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: 0le x le1]에서 [eqn: y le0]이고, [eqn: 1 le x le2]에서 [eqn: y ge0]이므로 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= int _{0} ^{1} {left{-x^2 (x-1)right}}dx+int_{1}^{2}{x^2 (x-1)}dx]

[eqn: =int _{0} ^{1} {(-x^3 +x^2 )} dx+ int _{1} ^{2} {(x^3 -x^2 )} dx]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {4}x^4 + {1} over {3} x^3 RIGHT ] _{0}^{1} + LEFT [ {1} over {4}x^4 - {1} over {3}x^3 RIGHT ] _{1}^{2}]

[eqn: = {3} over {2}]

19 곡선 [eqn: y=x^2]과 직선 [eqn: y=x]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: x^2 =x]

[eqn: x(x-1)=0]

[eqn: therefore``x=0] 또는

[eqn: x=1]

[eqn: 0le x le1]에서 [eqn: x ge x^2]이므로 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S][eqn: = int _{0} ^{1} {} (x-x ^{2} )dx]  [eqn: = LEFT [ {1} over {2} x ^{2} - {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1}][eqn: = {1} over {6}]

20  두 곡선

[eqn: y=x ^{2} -1], [eqn: y=3+2x-x ^{2}]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: x^2 -1 =3 +2x -x^2]

[eqn: 2x^2 -2x-4 =0], [eqn: 2(x+1)(x-2)=0]

[eqn: therefore] [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=2]

[eqn: -1lex le2]에서 [eqn: 3+2x-x^2 gex^2 -1]이므로 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S = int from -1 to 2 left{ (3+2x-x^2 )-(x^2 -1) right}dx]

[eqn: =int_{-1}^{2}{(-2x^2 +2x+4)}dx]

[eqn: =left[ - 2 over3 x^3 +x^2 +4x right]_{-1}^{2}][eqn: =9]

Ⅲ. 적분

21  곡선 [eqn: y=-x ^{2} +6x]와 직선 [eqn: y=2x]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: -x^2 +6x=2x]

[eqn: -x^2 +4x=0], [eqn: -x(x-4)=0]

[eqn: therefore``x=0] 또는 [eqn: x=4]

따라서 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S=S_1 +S_2]

[eqn: = 1over2 times4times8]

[eqn: +int_{4}^{6}{(-x^2 +6x)}dx]

[eqn: =16+left[ - 1over3 x^3 +3x^2 right]_{4}^{6}]

[eqn: =16+ {28} over {3} = {76} over {3}]

22 (1) [eqn: 0+ int _{0} ^{2} {(-2t+4)} dt= LEFT [ -t ^{2} +4t RIGHT ] _{0}^{2}][eqn: =4]

(2) [eqn: int _{1} ^{2} {(-2t+4)} dt= LEFT [ -t ^{2} +4t RIGHT ] _{1}^{2}][eqn: =1]

(3) [eqn: int _{2} ^{3} {|-2t+4|} dt= int _{2} ^{3} {(2t-4)dt}]

[eqn: = LEFT [ t ^{2} -4t RIGHT ] _{2}^{3}][eqn: =1]

23  점 [eqn: rmP]가 운동 방향을 바꿀 때의 속도는 [eqn: 0]이므로

[eqn: v(t)=0]에서 [eqn: t^2 -3t+2=0]

[eqn: (t-1)(t-2)=0]    [eqn: therefore``t=1] 또는 [eqn: t=2]

원점을 출발하여 [eqn: t=1]일 때 처음으로 운동 방향을 바꾸므로 구하는 점 [eqn: rmP]의 위치는

[eqn: 0+ int _{0} ^{1} {(t ^{2} -3t+2)} dt`= LEFT [ 1over 3 t^3 - 3over2 t^2 +2t RIGHT ]_{0}^{1}][eqn: = 5over6]

24  [eqn: int _{0} ^{10} {} LEFT | 30- {3} over {2} t RIGHT | dt= LEFT [ 30t- {3} over {4} t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{10} =225` rm (m)]