난이도별 테스트(상)

정답과 해설

I. 경우의 수

1 ④     2 ④     3 ①     4 [eqn: 50]     5 [eqn: 210]

6 [eqn: 55]     7 ⑴ [eqn: 6] ⑵ [eqn: 45] ⑶ [eqn: 66]       8 [eqn: 36]

9 ⑤     10 [eqn: 126]   11 ④   12 [eqn: 75]   13 [eqn: 4]

14 ①    15 [eqn: {1} over {2} TIMES LEFT { 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{20} RIGHT }] 16 [eqn: -252]

1  중복을 허용하여 만들어지는 네 자리의 정수의 개수는 [eqn: rm _{5} SMALLPROD _{4}]
[eqn: 4]개의 숫자를 모두 사용하여 네 자리의 정수를 만드는 경우의 수는 [eqn: rm _{5} rm P _{4}]
따라서 구하는 정수의 개수는 [eqn: rm _{5} SMALLPROD _{4} - rm _{5} rm P _{4} =505]

2  [eqn: 0]을 제외한 [eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지의 [eqn: 9]개의 숫자에서 중복을 허용하여 만들 수 있는 [eqn: 999] 이하의 자연수의 개수는
(ⅰ) 한 자리의 자연수의 개수는 [eqn: 9]
(ⅱ) 두 자리의 자연수의 개수는 [eqn: rm _{9} SMALLPROD _{2}]
(ⅲ) 세 자리의 자연수의 개수는 [eqn: rm _{9} SMALLPROD _{3}]
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: 1]부터 [eqn: 999]까지의 자연수 중에서 [eqn: 0]을 포함하지 않은 자연수의 개수는
[eqn: 9+ _{9} SMALLPROD _{2} + _{9} SMALLPROD _{3} =819]
따라서 구하는 자연수의 개수는
[eqn: 999-819=180]

3  [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: {}_3 smallprod_4 =81]
치역의 원소가 [eqn: 1]개인 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: {}_3 rmC_1 =3]
치역의 원소가 [eqn: 2]개인 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: {}_3 rmC_2 times LEFT ( {}_2 smallprod_4 -2 RIGHT ) = 42]
따라서 치역과 공역이 같은 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 81-3-42 = 36]

4  서로 다른 [eqn: 3]개의 나라에서 중복을 허용하여 [eqn: 4]
개를 택하여 일렬로 배열하는 중복순열의 수는
[eqn: rm _{3} SMALLPROD _{4} =81]
영국을 제외한 [eqn: 2]개의 나라에서 선택하는 경우의 수는 [eqn: rm _{2} SMALLPROD _{4} =16]
일본을 제외한 [eqn: 2]개의 나라에서 선택하는 경우의 수는 [eqn: rm _{2} SMALLPROD _{4} =16]
영국, 일본을 제외한 [eqn: 1]개의 나라에서 선택하는 경우의 수는 [eqn: rm _{1} SMALLPROD _{4} =1]
따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: 81-(16+16-1)=50]

5  노란 공 사이에 놓일 수 있는 [eqn: 2]개의 공은
(파란 공 [eqn: 2]개) 또는 (빨간 공 [eqn: 2]개) 또는 (파란 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 1]개)로 [eqn: 3]가지 경우가 있다.
(ⅰ) 파란 공 [eqn: 2]개가 놓이는 경우
노란 공 [eqn: 2]개, 파란 공 [eqn: 2]개를 하나의 공으로
생각하여 [eqn: 6]개의 공을 일렬로 나열하는 경우
수는 [eqn: {6!} over {4!} =30]
(ⅱ) 빨간 공 [eqn: 2]개가 놓이는 경우
노란 공 [eqn: 2]개, 빨간 공 [eqn: 2]개를 하나의 공으로
생각하여 [eqn: 6]개의 공을 일렬로 나열하는 경우
의 수는 [eqn: {6!} over {3!2!} =60]
(ⅲ) 파란 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 1]개가 놓이는 경우
노란 공 [eqn: 2]개, 파란 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 1]개를
하나의 공으로 생각하여 [eqn: 6]개의 공을 일렬로
나열하는 경우의 수는 [eqn: {6!} over {2!3!} =60]
노란 공 사이에 있는 파란 공 [eqn: 1]개와 빨간 공
[eqn: 1]개의 자리가 바뀌는 방법의 수는 [eqn: 2!]
따라서 노란 공 [eqn: 2]개 사이에 파란 공 [eqn: 1]개와
빨간 공 [eqn: 1]개가 놓이도록 나열하는 경우의 수
는 [eqn: 60 times 2! =120]

I. 경우의 수

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는
[eqn: 30+60+120=210]

6  [eqn: 8]단으로 된 계단을 올라가는 경우는 다음과 같다.
(ⅰ) [eqn: 1]단씩 8번 올라가는 경우 [eqn: 1]가지
(ⅱ) [eqn: 1]단씩 [eqn: 6]번, [eqn: 2]단씩 [eqn: 1]번 올라가는 경우
[eqn: 8! over6!times2! = 28](가지)
(ⅲ) [eqn: 1]단씩 [eqn: 4]번, [eqn: 2]단씩 [eqn: 2]번 올라가는 경우
[eqn: 6! over4!times2! = 15](가지)
(ⅳ) [eqn: 1]단씩 [eqn: 2]번, [eqn: 2]단씩 [eqn: 3]번 올라가는 경우
[eqn: 5!over2!times3! = 10](가지)
(ⅴ) [eqn: 2]단씩 [eqn: 4]번 올라가는 경우 [eqn: 1]가지
따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: 1+28+15+10+1 =55]

7  (1) 도로 [eqn: l]을 지나는 경우가 최단 경로이므로 다음 그림과 같이 두 지점 [eqn: rm C], [eqn: rm D]를 잡으면 [eqn: rm A]지점에서 [eqn: rm B]지점으로 가는 최단 경로는
[eqn: rm A` rarrow `C` rarrow `D rarrow `B]

따라서 최단 경로의 수는 [eqn: 1 TIMES 1 TIMES {4!} over {2!2!} =6]
(2) [eqn: {3!} over {2!} TIMES {6!} over {4!2!} =45]
(3) 다음 그림과 같이 두 지점 [eqn: rm Q], [eqn: rm R]를 잡으면 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R] 중 어느 한 지점을 반드시 지나는 한편 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R]를 동시에 지나는 최단 경로는 없으므로 도로 [eqn: l]을 지나지 않고 [eqn: rm A]지점에서 [eqn: rm B]지점으로 가는 최단 경로는
[eqn: rm A` -> `Q` -> `B], [eqn: rm A` -> `P` -> `B], [eqn: rm A` -> `R` -> `B]

(ⅰ) [eqn: rm A` -> `Q` -> `B]인 최단 경로의 수는
[eqn: 1 TIMES {6!} over {5!} =6]
(ⅱ) [eqn: rm A` -> `P` -> `B]인 최단 경로의 수는
[eqn: {3!} over {2!} TIMES {6!} over {4!2!} =45]
(ⅲ) [eqn: rm A` -> `R` -> `B]인 최단 경로의 수는
[eqn: 1 TIMES {6!} over {2!4!} =15]
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 최단 경로의 수는
[eqn: 6+45+15=66]

8  속도가 같기 때문에 갑과 을은 다음 그림에서 [eqn: RMBARPQ]에서 만나므로 세 사람이 모두 만나려면 병이 [eqn: RMB]지점에서 [eqn: RMBARPQ]를 지나 [eqn: RMD]지점으로 가야 한다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 4!OVER2!2! TIMES 4!OVER2!2! = 36]

9  작은 블록부터 시작하여 높이가 달라지는 경우가 네 번 생기도록 일렬로 빈틈없이 늘어놓으려면 (작은 블록), (큰 블록), (작은 블록), (큰 블록), (작은 블록) 순서로 쌓아야 한다.
(ⅰ) 세 군데의 작은 블록 칸에 쌓는 작은 블록의 개수를 각각 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]라 하면

[eqn: x+y+z=6`] ([eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]는 자연수)

난이도별 테스트(상)

[eqn: x prime =x-1], [eqn: y prime =y-1], [eqn: z prime =z-1]이라 놓으면 방정식 [eqn: x+y+z=6]의 자연수인 해의 개수는 방정식 [eqn: x prime +y prime +z prime =3]의 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 [eqn: rm _{3} rm H _{3} = _{5} C _{3} = _{5} C _{2} =10]

(ⅱ) 두 군데의 큰 블록 칸에 쌓는 큰 블록의 개수를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 하면

[eqn: a+b=6`] ([eqn: a], [eqn: b]는 자연수)
[eqn: a prime =a-1], [eqn: b prime =b-1]이라 놓으면 방정식
[eqn: a+b=6]의 자연수인 해의 개수는 방정식 [eqn: a prime +b prime =4]의 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 [eqn: rm _{2} rm H _{4} = _{5} C _{4} = _{5} C _{1} =5]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 10 TIMES 5=50]

10 각 문제에서 감점된 점수를 각각 [eqn: 5x _{1}], [eqn: 5x _{2}], [eqn: 5x _{3}], [eqn: 5x _{4}], [eqn: 5x _{5}]라고 하면 [eqn: x_i `]([eqn: i=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5])는 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중에서 하나의 값을 갖는다.
이때 총 점수가 [eqn: 80]점 이상이 되는 경우의 수는 [eqn: 5x _{1} +5x _{2} +5x _{3} +5x _{4} +5x _{5} LEQ 100-80], 즉
[eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} +x _{4} +x _{5} LEQ 4]를 만족시키는 해의 개수와 같다.
[eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} +x _{4} +x _{5} =4]를 만족시키는 해의 개수는 [eqn: rm _{5} rm H _{4} = _{8} rm C _{4} it]
[eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} +x _{4} +x _{5} =3]을 만족시키는 해의 개수는 [eqn: rm _{5} rm H _{3} = _{7} C _{3} it]
같은 방법으로 [eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} +x _{4} +x _{5} =r`]([eqn: r=0], [eqn: 1], [eqn: 2])를 만족시키는 해의 개수는 [eqn: rm _{5} rm H it rm _{r} = _{4+r} rm C it rm _{r}]
따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: rm _{4} rm C _{0} + _{5} C _{1} + _{6} C _{2} + _{7} C _{3} + _{8} C _{4} =126 it]

11  세 문자의 거듭제곱 꼴로 된 항은 [eqn: □^x □^y □^z] 꼴이다.
이때 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]는 자연수이고, [eqn: x+y+z=10]이므로 [eqn: x'+y'+z' = 7`]([eqn: x'], [eqn: y'], [eqn: z']은 음이 아닌 정수)의 해의 개수는 [eqn: rm_3rmH_7 = _9rmC_7 = _9rmC_2 = 36]
[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e] 중에서 세 문자를 택하는 경우의 수는 [eqn: rm_5 rmC_3 = _5rmC_2 =10]
따라서 구하는 항의 개수는
[eqn: 36times10=360]

12  조건 ㈎에서 [eqn: f(1) LEQ f(4)]이므로 조건 ㈏에서
[eqn: f(1)=1], [eqn: f(4)=4] 또는 [eqn: f(1)=2], [eqn: f(4)=2]
(ⅰ) [eqn: f(1)=1], [eqn: f(4)=4]일 때, 조건 ㈎에서

[eqn: 1=f(1) LEQ f(2) LEQ f(3)]

[eqn: LEQ f(4)=4 LEQ f(5) LEQ f(6)]

따라서 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: {} _{4} rm H _{2} TIMES _{3} H _{2}][eqn: rm = _{5} C _{2} TIMES _{4} C _{2} =60]

(ⅱ) [eqn: f(1)=2], [eqn: f(4)=2]일 때, 조건 ㈎에서

[eqn: 2=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=2]

[eqn: LEQ f(5) LEQ f(6)]

따라서 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: {} _{5} rm H _{2} = _{6} C _{2} =15]
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 60+15=75]

13  [eqn: (x+2)^3]의 전개식의 일반항은 [eqn: {}_3 rmC_{itr} ``2^r `x^3-r]
[eqn: LEFT ( x- 1overx RIGHT )^4]의 전개식의 일반항은[eqn: {}_4 rmC_{its} `` LEFT ( - 1overx RIGHT ) ^s `x^4-s]
따라서 [eqn: (x+2)^3 LEFT ( x- 1overx RIGHT )^4]의 전개식의 일반항은
[eqn: {}_3 rmC_{itr} ``2^r `x^3-r][eqn: times{}_4 rmC_{its} `` LEFT ( - 1overx RIGHT ) ^s `x^4-s]
[eqn: ={}_3 rmC_{itr} times {}_4 rmC_{its} ``2^r ` LEFT ( - 1 RIGHT ) ^s `x^7-r-2s]
[eqn: 7-r-2s =2]가 되려면
[eqn: r=1], [eqn: s=2] 또는 [eqn: r=3], [eqn: s=1]인 경우이다.
(ⅰ) [eqn: r=1], [eqn: s=2]인 경우
[eqn: {}_3 rmC_{it1} times {}_4 rmC_{it2} ``2 ` LEFT ( - 1 RIGHT ) ^2 = 36]
(ⅱ) [eqn: r=3], [eqn: s=1]인 경우
[eqn: {}_3 rmC_{3} times {}_4 rmC_{1} ``2^3 ` LEFT ( - 1 RIGHT ) = -32]

따라서 구하는 [eqn: x^2]의 계수는 [eqn: 4]이다.

I. 경우의 수

14  [eqn: 31 ^{80} = LEFT ( 30+1 RIGHT ) ^{80}]

[eqn: = _{80} rm C _{0} TIMES 30 ^{80} + _{80} rm C _{1} TIMES 30 ^{79} + _{80} rm C _{2} TIMES 30 ^{78}]

[eqn: +` CDOTS `+ _{80} rm C _{79} TIMES 30+ _{80} rm C _{80}]

이때
[eqn: 30 ^{2} =60 TIMES 15], [eqn: {} _{80} rm C _{79} TIMES 30=80 TIMES 30=60 TIMES 40]이므로 [eqn: {} _{80} rm C _{80}]을 제외한 항은 모두 [eqn: 60]의 배수이다.
따라서 구하는 나머지는 [eqn: {} _{80} rm C _{80} =1]을 [eqn: 60]으로 나누었을 때의 나머지와 같으므로 [eqn: 1]이다.

15  [eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) ^{n} = _{n} rm C _{0} it a ^{n} + _{n} rm C _{1} it a ^{n-1} b+ _{n} rm C _{2} it a ^{n-2} b ^{2} +` CDOTS]

[eqn: + _{n} rm C _{it r rm} it a ^{n-r} b ^{r} +` CDOTS `+ _{n} rm C _{it n rm} it b ^{n}]

[eqn: n=20], [eqn: a= {2} over {3}], [eqn: b= {1} over {3}]을 대입하면
[eqn: LEFT ( {2} over {3} + {1} over {3} RIGHT ) ^{20} = _{20} rm C _{0} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{20} + _{20} rm C _{1} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{19} LEFT ( {1} over {3} RIGHT )]
[eqn: + _{20} rm C _{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{18} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} +` CDOTS `+ _{20} rm C _{20} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{20}]
[eqn: = _{20} rm C _{0} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{20} + it f` LEFT ( 1 RIGHT ) + it f` LEFT ( 2 RIGHT ) +` CDOTS]
[eqn: +f` LEFT ( 19 RIGHT ) + _{20} rm C _{20} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{20}]
[eqn: cdotscdots]㉠
또 [eqn: n=20], [eqn: a= {2} over {3}], [eqn: b=- {1} over {3}]을 대입하면
[eqn: LEFT ( {2} over {3} - {1} over {3} RIGHT ) ^{20}]
[eqn: = _{20} rm C _{0} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{20} - it f` LEFT ( 1 RIGHT ) + it f` LEFT ( 2 RIGHT ) -` CDOTS `]
[eqn: -f` LEFT ( 19 RIGHT ) + _{20} rm C _{20} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{20}]   [eqn: cdotscdots]㉡
㉠[eqn: -]㉡를 하면
[eqn: 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{20} =2 LEFT { f` LEFT ( 1 RIGHT ) +f` LEFT ( 3 RIGHT ) +` CDOTS `+f` LEFT ( 19 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: THEREFORE ````f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) +f LEFT ( 5 RIGHT ) +` CDOTS `+f LEFT ( 19 RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT { 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{20} RIGHT }]

16  [eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{10} LEFT ( 1-x RIGHT ) ^{10} = LEFT ( 1-x ^{2} RIGHT ) ^{10}]  [eqn: cdotscdots]㉠에서
[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{10} = _{10} rm C _{0} + _{10} rm C _{1} it x+ _{10} rm C _{2} it x ^{2} +CDOTS + _{10} rm C _{10} it x ^{10}]
[eqn: LEFT ( 1-x RIGHT ) ^{10} = _{10} rm C _{0} - _{10} rm C _{1} it x+ _{10} rm C _{2} it x ^{2} - CDOTS + _{10} rm C _{10} it x ^{10}]
이므로 ㉠의 좌변에서 [eqn: x ^{10}]의 계수는
[eqn: {}_{10} rm C _{0} TIMES _{10} rm C _{10} - _{10} rm C _{1} TIMES _{10} rm C _{9} + _{10} rm C _{2} TIMES _{10} rm C _{8} -` CDOTS]
[eqn: + _{10} rm C _{10} TIMES _{10} rm C _{0}]
[eqn: = LEFT ( {} _{10} rm C _{0} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {} _{10} rm C _{1} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {} _{10} rm C _{2} RIGHT ) ^{2} - CDOTS]
[eqn: - LEFT ( {}_{10} rm C _{9} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {}_{10} rm C _{10} RIGHT ) ^{2}]    [eqn: cdotscdots]㉡
㉠의 우변에서 [eqn: LEFT ( 1-x ^{2} RIGHT ) ^{10}]의 전개식의 일반항은
[eqn: {}_{10} rm C _{it r rm} it LEFT ( -x ^{2} RIGHT ) ^{r} = _{10} rm C _{it r rm} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{it r rm} itx ^{2r}] (단, [eqn: 0 LEQ r LEQ 10]인 정수)
[eqn: x ^{10}]항은 [eqn: 2r=10], 즉 [eqn: r=5]일 때이므로 [eqn: x ^{10}]의 계수는
[eqn: {} _{10} rm C _{5} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{5} =-252]                [eqn: cdotscdots]㉢
㉠에서 ㉡[eqn: =]㉢이므로
[eqn: LEFT ( {}_{10} rm C _{0} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {}_{10} rm C _{1} RIGHT ) ^{2} +CDOTS][eqn: - LEFT ( {}_{10} rm C _{9} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {}_{10} rm C _{10} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =-252]