난이도별 테스트(상)

정답과 해설

Ⅱ. 확률

1 [eqn: 3]     2 ④     3 ④     4 ⑤     5 ⑤

6 ⑤    7 ④      8 [eqn: 2OVER5]    9 [eqn: 5OVER18]    10 ③

11 B 주사위      12 ⑤   13 ③

14 [eqn: 1over3 < p <1]     15 [eqn: 0.1008]        16 ④

1  표본공간 [eqn: S=left{1,~2,~3,~4,~5,~6right}]에 대하여
[eqn: A= LEFT { 2,~4,~6 RIGHT }], [eqn: B=left{1,~2,~3,~6 right}]
(ⅰ) [eqn: A]와 [eqn: C]는 서로 배반사건이므로
[eqn: C SUBSET A ^{C}]    [eqn: THEREFORE ````C SUBSET LEFT { 1,~3,~5 RIGHT }]
(ⅱ) [eqn: B ^{C}]과 [eqn: C]는 서로 배반사건이므로
[eqn: C subset B]    [eqn: THEREFORE ````C SUBSET LEFT { 1,~2,~3,~6 RIGHT }]
(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: C SUBSET LEFT { 1,~3 RIGHT }]
이때 [eqn: C != emptyset]이므로 구하는 사건 [eqn: C]의 개수는
[eqn: 2 ^{2} -1=3]

2  주사위를 두 번 던져서 나오는 모든 경우의 수
는 [eqn: 6 times 6 =36]
방정식 [eqn: x ^{2} -(a+b)x+ab+1=0]의 근이 존재하지 않는 경우는
[eqn: D= (a+b)^2 -4(ab +1) < 0]
[eqn: a^2 -2ab +b^2 -4 < 0]
[eqn: (a-b) ^{2} <4]에서 [eqn: LEFT| a-b RIGHT | <2]
(ⅰ) [eqn: LEFT| a-b RIGHT | =0]일 때, 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는 [eqn: (1,~1)],
[eqn: (2,~2)], [eqn: (3,~3)], [eqn: (4,~4)], [eqn: (5,~5)], [eqn: (6,~6)]의 [eqn: 6]가지
(ⅱ) [eqn: LEFT| a-b RIGHT | =1]일 때, 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는 [eqn: (1,~2)],
[eqn: (2,~1)], [eqn: (2,~3)], [eqn: (3,~2)], [eqn: (3,~4)], [eqn: (4,~3)], [eqn: (4,~5)],
[eqn: (5,~4)], [eqn: (5,~6)], [eqn: (6,~5)]의 [eqn: 10]가지
(ⅰ), (ⅱ)에서 근이 존재하지 않는 경우의 수는
[eqn: 6+10=16]
따라서 구하는 확률은 [eqn: {16} over {36} = {4} over {9}]

3  [eqn: □] 안에 넣을 모든 경우의 수는 [eqn: rm _{4} SMALLPROD _{3}]
[eqn: 36 = 4TIMES9]이므로 [eqn: 9□3□76□]는 [eqn: 4], [eqn: 9]의 배수
이어야 한다.
(ⅰ) [eqn: 4]의 배수가 되기 위해서는 끝의 두 자리
[eqn: 6□]가 [eqn: 4]의 배수이어야 하므로 [eqn: □] 안에
넣을 수 있는 숫자는 [eqn: 0]의 [eqn: 1]가지
(ⅱ) [eqn: 9]의 배수가 되기 위해서는 각 자리 숫자의
합이 [eqn: 9]의 배수이어야 하므로 [eqn: 9a3b760]이라
하면
[eqn: 9+a+3+b+7+6+0=25+a+b]에서
[eqn: a+b=2] ([eqn: BECAUSE] [eqn: 0 LEQ a+b LEQ 6])
[eqn: a+b = 2]를 만족시키는 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍
[eqn: (a,~b)]는 [eqn: (0,~2)], [eqn: (1,~1)], [eqn: (2,~0)]의 [eqn: 3]가지
(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: 36]의 배수가 되는 경우의 수는
[eqn: 1times 3 = 3]
따라서 구하는 확률은 [eqn: {3} over {rm _{4} SMALLPROD _{3}} = {3} over {64}]

4  [eqn: 10]명을 [eqn: 5]명씩 두 조로 나누는 방법의 수는
[eqn: rm _{10} rm C it rm _{5} TIMES _{5} rm C it rm _{5} TIMES {1} over {2!} =126]
여자 [eqn: 3]명을 제외한 남자 [eqn: 7]명을 [eqn: 2]명, [eqn: 5]명의 두 조로 나누는 방법의 수는
[eqn: rm _{7} rm C it _{2} TIMES _{5} rm C it _{5} =21]
따라서 구하는 확률은 [eqn: {21} over {126} = {1} over {6}]

Ⅱ. 확률

5  두 사람이 도착하는 시각을 각각 오후 [eqn: 1]시 [eqn: x]분, 오후 [eqn: 1]시 [eqn: y]분이라 하면
[eqn: 0 LEQ x LEQ 60], [eqn: 0 LEQ y LEQ 60] ……㉠
두 사람이 만나려면 [eqn: LEFT | x-y RIGHT | LEQ 20]이어야 하므로
[eqn: -20 LEQ x-y LEQ 20]
[eqn: THEREFORE] [eqn: x-20 LEQ y LEQ x+20] ……㉡
㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 점 [eqn: (x,~y)]의 영역을 나타내면 오른쪽 그림의 색칠한 부분(경계선 포함)과 같다.

따라서 구하는 확률은
[eqn: {(색칠한~부분의~넓이)} over {(□RM OABC의~넓이)}][eqn: = {60 ^{2} -2 TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES 40 ^{2} RIGHT )} over {60 ^{2}}]
[eqn: = {5} over {9}]

6  [eqn: rm P IT (A CUP B)= rm P it (A)+ rm P it (B)- rm P it (A SMALLINTER B)]에서
[eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= rm P it (A)+ rm P it (B)- rm P it (A CUP B)]
[eqn: = {2} over {3} + {3} over {4} - rm P it (A CUP B)]
[eqn: = {17} over {12} - rm P it (A CUP B)]
[eqn: rm P it (A CUP B) GEQ rm P it (A)], [eqn: rm P it (A CUP B) GEQ rm P it (B)],
[eqn: rm P it (A CUP B) LEQ 1]이므로
[eqn: rm P it (A CUP B) GEQ {2} over {3}], [eqn: rm P it (A CUP B) GEQ 3OVER4], [eqn: rm P it (A CUP B) LEQ 1]
따라서 [eqn: {3} over {4} LEQ rm P it (A CUP B) LEQ 1]이므로
[eqn: -1 LEQ - rm P it (A CUP B) LEQ - {3} over {4}]
[eqn: THEREFORE] [eqn: {5} over {12} LEQ {17} over {12} - rm P it (A CUP B) LEQ {2} over {3}]
따라서 [eqn: M= {2} over {3} ,```m= {5} over {12}]이므로 [eqn: M+m= {13} over {12}]

7  갑과 을이 서로 만나지 않는 사건을 [eqn: X]라 하면 [eqn: X^C]은 서로 만나는 사건이고 다음 그림과 같이 갑과 을은 [eqn: RMP], [eqn: RMQ], [eqn: RMR], [eqn: RMS]지점에서 만난다.

(ⅰ) 전체 경우의 수는 [eqn: LEFT ( {6!} over {3!3!} RIGHT ) ^{2} =400]
(ⅱ) [eqn: RMP], [eqn: RMQ], [eqn: RMR], [eqn: RMS]지점에서 만나는 경우의 수는
[eqn: LEFT { 1 ^{2} + LEFT ( {3!} over {2!} TIMES {3!} over {2!} RIGHT ) ^{2} RIGHT } TIMES 2=164]
(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: rm P it (X ^{C} `)= {164} over {400} = {41} over {100}]
따라서 구하는 확률은
[eqn: rm P it (X)=1- rm P it (X ^{C} `)=1- {41} over {100} = {59} over {100}]

8  임의로 뽑은 카드에 적힌 수가 [eqn: 2]의 배수인 사건을 [eqn: A], [eqn: 5]의 배수인 사건을 [eqn: B]라 하면
[eqn: rm P( it A)= {1} over {2}], [eqn: rmP(itB) ={ 1} over {5 }]
[eqn: A smallinter B]는 [eqn: 10]의 배수인 사건이므로
[eqn: rmP(itA smallinter B ) = 1over10]
이때 임의로 뽑은 카드에 적힌 수가 [eqn: 10]과 서로소가 아닐 확률은
[eqn: rmP(itA smallunion B)=rmP(itA)+rmP(itB)-rmP(it A smallinter B)]
[eqn: = {1} over {2} + {1} over {5} - {1} over {10}= {3} over {5}]

난이도별 테스트(상)

[eqn: 10]과 서로소인 사건은 [eqn: A^C CAP B^C], 즉 [eqn: (A CUP B)^C]이므로 구하는 확률은
[eqn: rm P it ((A CUP B) ^{C} `)=1- rm P it (A CUP B)]
[eqn: =1- {3} over {5} = {2} over {5}]

9  첫 번째에 꺼낸 공이 빨간색인 사건을 [eqn: A], 두 번째에 꺼낸 공이 빨간색인 사건을 [eqn: B], 세 번째에 꺼낸 공이 빨간색인 사건을 [eqn: C]라 하면
[eqn: rm P it (A SMALLINTER B SMALLINTER C)= {10} over {15} TIMES {13} over {18} TIMES {16} over {21} = {208} over {567}]
[eqn: rm P it (A SMALLINTER B ^{C} SMALLINTER C)= {10} over {15} TIMES {5} over {18} TIMES {13} over {21} = {65} over {567}]
[eqn: rm P it (A ^{C} SMALLINTER B SMALLINTER C)= {5} over {15} TIMES {10} over {18} TIMES {13} over {21} = {65} over {567}]
[eqn: rm P it (A ^{C} SMALLINTER B ^{C} SMALLINTER C)= {5} over {15} TIMES {8} over {18} TIMES {10} over {21} = {40} over {567}]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm P it (C)= rm P it (A SMALLINTER B SMALLINTER C)+ rm P it (A SMALLINTER B ^{C} SMALLINTER C)]
[eqn: + rm P it (A ^{C} SMALLINTER B SMALLINTER C)+ rm P it (A ^{C} SMALLINTER B ^{C} SMALLINTER C)]
[eqn: = {208} over {567} + {65} over {567} + {65} over {567} + {40} over {567}]
[eqn: = {2} over {3}]
따라서 구하는 확률은
[eqn: rm P it (B ^{C} `|`C)= {rm P it (B ^{C} SMALLINTER C)} over {rm P it (C)}]
[eqn: = {rm P it (A SMALLINTER B ^{C} SMALLINTER C)+ rm P it (A ^{C} SMALLINTER B ^{C} SMALLINTER C)} over {rm P it (C)}]
[eqn: = {{65} over {567} + {40} over {567}} over {{2} over {3}}][eqn: = {5} over {18}]

10  양면 모두 흰색인 카드, 한 면은 흰색, 다른 면은 붉은색인 카드, 양면 모두 붉은색인 카드를 꺼내는 사건을 각각 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C], 책상에 놓인 카드의 윗면이 흰색인 사건을 [eqn: E]라 하면
[eqn: rm P it (A SMALLINTER E)= rm P it (A) rm P it (E`|`A)= {3} over {6} TIMES 1= {1} over {2}]
[eqn: rm P it (B SMALLINTER E)= rm P it (B) rm P it (E`|`B)= {2} over {6} TIMES {1} over {2} = {1} over {6}]
[eqn: rm P it (C SMALLINTER E)= rm P it (C) rm P it (E`|`C)= {1} over {6} TIMES 0= 0]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm P it (E)= rm P it (A SMALLINTER E)+ rm P it (B SMALLINTER E)+ rm P it (C SMALLINTER E)]
[eqn: = {1} over {2} + {1} over {6} +0][eqn: = {2} over {3}]
따라서 구하는 확률은
[eqn: rm P it (A`|`E)= {rm P it (A SMALLINTER E)} over {rm P it (E)} = {{1} over {2}} over {{2} over {3}} = {3} over {4}]

11 [eqn: 2]개의 주사위를 택하는 사건은 서로 독립이고 각각의 주사위의 눈이 나오는 사건도 서로 독립이다.
[eqn: RMA] 주사위를 택하였을 때, 이길 확률은
(ⅰ) [eqn: RMA]가 [eqn: 2]이면 [eqn: RMB]는 [eqn: 1]이어야 하므로
[eqn: {2} over {6} TIMES {2} over {6} = {1} over {9}]
(ⅱ) [eqn: RMA]가 [eqn: 4]이면 [eqn: RMB]는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 3]이어야 하므로
[eqn: 4 over 6 times 3 over 6 = 1 over 3]
(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: RMA] 주사위를 택하였을 때, 이길 확률은 [eqn: {1} over {9} + {1} over {3} = {4} over {9}]
비길 경우는 없으므로 [eqn: RMB] 주사위를 택하였을 때, 이길 확률은 [eqn: 1- {4} over {9} = {5} over {9}]
따라서 [eqn: RMB] 주사위를 택하는 것이 유리하다.

Ⅱ. 확률

12

위의 그림과 같은 대진표에서 성빈이가 [eqn: 3] 또는
[eqn: 4]의 위치에 배정되는 사건을 [eqn: A], [eqn: 1] 또는 [eqn: 2] 또는 [eqn: 5]의 위치에 배정되는 사건을 [eqn: B], 성빈이가 우승하는 사건을 [eqn: E]라 하면
[eqn: rm P it (A SMALLINTER E)= rm P it (A) rm P it (E`|`A)= {2} over {5} TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} = {1} over {20}]
[eqn: rm P it (B SMALLINTER E)= rm P it (B) rm P it (E`|`B)= {3} over {5} TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {3} over {20}]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm P it (E)= rm P it (A SMALLINTER E)+ rm P it (B SMALLINTER E)]
[eqn: = {1} over {20} + {3} over {20} = {1} over {5}]
따라서 구하는 확률은
[eqn: rm P it (B`|`E)= {rm P it (B SMALLINTER E)} over {rm P it (E)} = {{3} over {20}} over {{1} over {5}} = {3} over {4}]

13  [eqn: 1]의 공은 [eqn: RMA]로, [eqn: 2]의 공은 [eqn: RMB]로, [eqn: 3]의 공은 [eqn: RMC]로
나오는 사건을 각각 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]라 하면 세 사건 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]는 독립이고 갈라지는 지점에서 왼쪽, 오른쪽으로 내려가는 사건도 독립이다.
[eqn: rm P it (A)= {1} over {2} TIMES {1} over {2} + {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} = {3} over {8}]
[eqn: rm P it (B)]
[eqn: = {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} +4 TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} + {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2}]
[eqn: = {1} over {2}]
[eqn: rm P it (C)= {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} + {1} over {2} TIMES {1} over {2} = {3} over {8}]
따라서 구하는 확률은 [eqn: {3} over {8} TIMES {1} over {2} TIMES {3} over {8} = {9} over {128}]

14  엔진이 [eqn: n]개인 비행기가 안전하게 비행할 수
있는 확률을 [eqn: p_n]이라 하면
[eqn: p _{2} =1- _{2} rm C _{2} it p ^{2} (1-p) ^{0} =1-p ^{2}]
[eqn: p _{4} =1- LEFT { {} _{4} rm C _{3} it p ^{3} (1-p) ^{1} + _{4} rm C _{4} it p ^{4} (1-p) ^{0} RIGHT }]
[eqn: =1-4p ^{3} +3p ^{4}]
따라서 [eqn: 1-p ^{2} >1-4p ^{3} +3p ^{4}]에서
[eqn: 3p^4 - 4p^3 + p^2 < 0], [eqn: p^2 (3p-1) (p-1) < 0]
[eqn: THEREFORE] [eqn: 1over3 < p <1] ([eqn: BECAUSE] [eqn: p^2 > 0])

15  [eqn: rmB]팀이 [eqn: 3:4]로 이기는 경우는 다음과 같이
나누어 생각할 수 있다.
(ⅰ) [eqn: rmB]팀 선수 [eqn: 4]명이 승부차기를 하는 경우

[eqn: rmA]팀 선수 [eqn: 5]명 중에서 네 번째 선수까지
[eqn: 3]명이 승부차기를 성공한 다음 다섯 번째
선수가 실패하고, [eqn: rmB]팀 선수 [eqn: 4]명은 모두
성공하여야 한다.
따라서 그 확률은
[eqn: LEFT { {} _{4} rm C _{3} LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {5} RIGHT )^1 TIMES {1} over {5} RIGHT } TIMES _{4} rm C _{4} LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{0}]
[eqn: =4 LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{7} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2}]
(ⅱ) [eqn: rmB]팀 선수 [eqn: 5]명이 승부차기를 하는 경우

[eqn: rmA]팀 선수 [eqn: 5]명 중에서 [eqn: 3]명이 승부차기를
성공하고, [eqn: rmB]팀 선수 [eqn: 5]명 중에서 네 번째
선수까지 [eqn: 3]명이 성공한 다음 다섯 번째
선수가 성공하여야 한다.
따라서 그 확률은
[eqn: {} _{5} rm C _{3} LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2} TIMES LEFT { {} _{4} rm C _{3} LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {5} RIGHT )^1 TIMES {4} over {5} RIGHT }]
[eqn: =8 LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{7} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2}]
(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: rmB]팀이 [eqn: 3:4]로 이길 확률은
[eqn: 4 LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{7} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2} +8 LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{7} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2}][eqn: =12 LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{7} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = 0.1008]

난이도별 테스트(상)

16  동전의 앞면이 나오는 횟수를 [eqn: x], 뒷면이 나오
는 횟수를 [eqn: y]라 하면 [eqn: RMA]를 출발한 점이 [eqn: RMC]에 오는 경우는 다음과 같다.
(ⅰ) [eqn: x+y=6], [eqn: 2x+y=7]인 경우
[eqn: x=1], [eqn: y= 5]이므로 확률은
[eqn: rm _{6} rm C _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} = {3} over {32}]
(ⅱ) [eqn: x+y=6], [eqn: 2x+y = 12]인 경우
[eqn: x=6], [eqn: y=0]이므로 확률은
[eqn: rm _{6} rm C _{6} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{0} = {1} over {64}]
(ⅰ), (ⅱ)는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은 [eqn: {3} over {32} + {1} over {64} = {7} over {64}]