난이도별 테스트(상)

정답과 해설

Ⅲ. 통계

1 [eqn: rm P( it X=x)`][eqn: = {x ^{2} -3x+2} over {240}] [eqn: (x=3,``4,`` CDOTS ,``10)]

2 [eqn: 7OVER10]     3 [eqn: 1over5]     4 ③     5 [eqn: 15]     6 ③

7 [eqn: 0.1587]    8 [eqn: 0.07]   9 [eqn: 0.16]   10 [eqn: 73]   11 ①
12 ①   13 ②    14 [eqn: 0.392]    15 [eqn: 99]

16 [eqn: 288]

1  [eqn: X]가 취할 수 있는 값은 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: cdots], [eqn: 10]이다.
[eqn: x]번째 검사에서 [eqn: 3]개의 불량품이 모두 나오려면
[eqn: (x-1)]번째 검사까지 [eqn: 2]개의 불량품이 나오고,
[eqn: x]번째 검사에서 마지막 불량품이 나와야 한다.
[eqn: (x-1)]번째 검사까지 [eqn: 2]개의 불량품이 나올 확률은 [eqn: {{} _{3} rm C _{2} TIMES _{7} C _{it x-3 rm} it} over {{} _{10} rm C _{it x-1 rm} it}]
[eqn: x]번째 검사에서 마지막 불량품이 나올 확률은
[eqn: {1} over {10-(x-1)}={1} over {11-x}]
따라서 확률질량함수는
[eqn: rm P( it X=x)= rm {{} _{3} C _{2} TIMES _{7} C _{it x-3 rm}} over {{} _{10} C _{it x-1 rm}} TIMES {1} over {11- it x rm} `]
[eqn: = {3 TIMES {7!} over {(x-3)!(10-x)!}} over {{10!} over {(x-1)!(11-x)!}} TIMES {1} over {11-x}]
[eqn: = {(x-1)(x-2)} over {240}]
[eqn: = {x ^{2} -3x+2} over {240}] [eqn: (x=3,``4,`` CDOTS ,``10)]

2  [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	합계
[eqn: rmP it (X=x)]	[eqn: 1OVER10]	[eqn: 1OVER5]	[eqn: 2OVER5]	[eqn: 1OVER5]	[eqn: 1OVER10]	[eqn: 1]

직선과 곡선이 서로 다른 두 점에서 만나므로
[eqn: {x} over {2} +X=- {X} over {12} x ^{2} + {X ^{2}} over {6}]에서
[eqn: Xx ^{2} +6x+12X-2X ^{2} =0]
이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면
[eqn: {D} over {4} =3 ^{2} -X(12X-2X ^{2} )>0]
[eqn: THEREFORE] [eqn: 2X ^{3} -12X ^{2} +9>0]
따라서 구하는 확률은
[eqn: rm P( it 2X ^{3} -12X^2 +9>0)][eqn: = rm P it (X=6)+ rm P it (X=7)+ rm P it (X=8)]
[eqn: = {2} over {5} + {1} over {5} + {1} over {10} = {7} over {10}]

3  확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)]의 그래프에서
[eqn: rm P it LEFT ( 0 LEQ X LEQ {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {2}], [eqn: rm P it LEFT ( {1} over {2} LEQ X LEQ {3} over {2} RIGHT ) = {1} over {2}]
이때 [eqn: 4 rm P it (0 LEQ X LEQ a)= rm P it LEFT ( a LEQ X LEQ {3} over {2} RIGHT )]에서
[eqn: rm P it (0 LEQ X LEQ a)< rm P it LEFT ( a LEQ X LEQ {3} over {2} RIGHT )]이므로
[eqn: 0<a< {1} over {2}]
따라서 [eqn: rm P it (0 LEQ X LEQ a)=a],
[eqn: rm P it LEFT ( a LEQ X LEQ {3} over {2} RIGHT ) =1-a]이므로
[eqn: 4 rm P it (0 LEQ X LEQ a)= rm P it LEFT ( a LEQ X LEQ {3} over {2} RIGHT )]에서
[eqn: 4a = 1-a]    [eqn: THEREFORE ````a= {1} over {5}]

Ⅲ. 통계

4  확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수는
[eqn: rm P it (X=x)= {1} over {6} `]([eqn: x=1], [eqn: 2], [eqn: cdots], [eqn: 6])이므로
[eqn: rm E it (X ^{2} )=1 ^{2} TIMES {1} over {6} +2 ^{2} TIMES {1} over {6} + CDOTS +6 ^{2} TIMES {1} over {6} = {91} over {6}]
[eqn: rm E it (aX ^{2} -1)=90]에서
[eqn: a rm E it (X ^{2} )-1=90], [eqn: {91} over {6} a-1=90]    [eqn: THEREFORE] [eqn: a=6]

5  변 [eqn: rm A _{1} B _{1}], 변 [eqn: rm A _{2} B _{2}], [eqn: CDOTS], 변 [eqn: rm A _{itn} B _{itn}]의 길이를 확률변수 [eqn: X]라 하면
[eqn: rm E it (X)=8], [eqn: sigma(X)=1]
[eqn: rm THEREFORE ````E it (X ^{2} )= rm V it (X)+ LEFT { rm E it (X) RIGHT } ^{2} =1+8 ^{2} =65]
이때 둘레의 길이가 [eqn: 20]이고 한 변의 길이가 [eqn: X]인 직사각형의 넓이는 [eqn: X(10-X)=10X-X ^{2}]
따라서 구하는 직사각형들의 넓이의 평균은
[eqn: rm E( it 10X-X ^{2} )=10 rm E it (X)- rm E it (X ^{2} )=80-65=15]

6  주사위를 [eqn: 12]번 던질 때 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: Y]라 하면 그 이외의 눈이 나오는 횟수는 [eqn: 12-Y]이므로
[eqn: X=3Y-(12-Y)=4Y-12]
한편 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 12,~ {1} over {3} RIGHT )]을 따르므로
[eqn: rm E it (Y)=12 TIMES {1} over {3} =4]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm E it (X)= rm E it (4Y-12)=4 rm E( it Y)-12=4]

7  이차방정식 [eqn: t^2 + 2t + X = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면 이 이차방정식이 실근을 가지려면
[eqn: {D} over {4} =1-X GEQ 0]   [eqn: THEREFORE] [eqn: X LE 1]
이때 [eqn: m=3,```` sigma =2]이므로 구하는 확률은
[eqn: rm P it (X LEQ 1)][eqn: = rm P it LEFT ( X LEQ 3-2 RIGHT )]
[eqn: = rm P it (X LEQ m- sigma )]
[eqn: = rm P it (X GEQ m+ sigma )]
[eqn: =0.5- rm P it (m LEQ X LEQ m+ sigma )]
[eqn: = 0.5-0.3413 = 0.1587]

8  생수 한 병의 부피를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N(330,~10^2 )]을 따르므로 생수가 불량품으로 판정될 확률은
[eqn: rm P( it X LEQ 310)][eqn: = rm P LEFT ( it Z LEQ {310-330} over {10} RIGHT )]

[eqn: = rm P( it Z LEQ -2)= rm P( it Z GEQ 2)]

[eqn: =0.5- rm P( it 0 LEQ Z LEQ 2)]

[eqn: =0.5-0.48=0.02]
임의로 택한 [eqn: 10000]병의 생수 중에서 불량품의 개수를 확률변수 [eqn: Y]라 하면 [eqn: Y]는 [eqn: n=10000], [eqn: p=0.02]인 이항분포 [eqn: rmB(10000,~0.02)]를 따른다.
이때 [eqn: np GEQ 5], [eqn: n(1-p) GEQ 5]이므로 [eqn: n]은 충분히 크고
[eqn: np=10000 TIMES 0.02= 200],
[eqn: np(1-p)=10000 TIMES 0.02 TIMES 0.98=196]
이므로 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: rm N(200,~196)]에 가까워진다.
따라서 불량품의 개수가 [eqn: 221]개 이상일 확률은
[eqn: rm P( it Y GEQ 221)][eqn: = rm P LEFT ( it Z GEQ {221-200} over {14} RIGHT )][eqn: = rm P( it Z GEQ 1.5)]

[eqn: =0.5- rm P( it 0 LEQ Z LEQ 1.5)]

[eqn: =0.5-0.43 =0.07]

9  [eqn: 10]점을 얻는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 1600,~ {1} over {5} RIGHT )]을 따르므로
[eqn: RME IT(X) = 1600TIMES 1OVER5 = 320],
[eqn: RMV IT(X) =1600TIMES 1OVER5 TIMES 4OVER5 = 256]
즉, [eqn: X]는 근사적으로 정규분포 [eqn: RMN (320,~16^2 )]을 따른다.
한편 [eqn: 1600]번의 시행에서 [eqn: 2]점을 잃는 횟수는
[eqn: 1600-X]이므로 [eqn: 832]점 이상을 얻기 위해서는
[eqn: 10X - 2 (1600 - X) GE 832]    [eqn: THEREFORE ````X GEQ 336]
따라서 구하는 확률은
[eqn: rm P it (X GEQ 336)][eqn: = rm P it LEFT ( Z GEQ {336-320} over {16} RIGHT ) = rm P it (Z GEQ 1)]
[eqn: =0.5- rm P( it 0 LEQ Z LEQ 1)]
[eqn: =0.5-0.34=0.16]

난이도별 테스트(상)

10  발아하는 씨앗의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하면
[eqn: X]는 이항분포 [eqn: RMB(100,~0.8)]을 따르므로
[eqn: RME IT(X)= 100 times 0.8 =80],
[eqn: rm V it (X)=100 TIMES 0.8 TIMES 0.2=16]
즉, [eqn: X]는 근사적으로 정규분포 [eqn: RMN(80,~4^2 )]을 따른다.
[eqn: RMP IT( X GE k) GE 0.95]에서
[eqn: rm P it LEFT ( Z GEQ {k-80} over {4} RIGHT ) GEQ 0.95]
[eqn: rm P it LEFT ( {k-80} over {4} LEQ Z LEQ 0 RIGHT ) +0.5 GEQ 0.95]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ {80-k} over {4} RIGHT ) GEQ 0.45]
이때 [eqn: RMP IT (0 LE Z LE 1.65) =0.45]이므로
[eqn: {80-k} over {4} GEQ 1.65]    [eqn: THEREFORE] [eqn: k LE 73.4]
따라서 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 73]이다.

11  모집단이 정규분포 [eqn: rm N(itm,~ sigma^2 )]을 따르고 표본의 크기가 각각 [eqn: 25], [eqn: 400]이므로 표본평균 [eqn: barX], [eqn: bar Y]는 각각 정규분포 [eqn: rm N LEFT (it m,~ LEFT ( {sigma } over {5} RIGHT ) ^{2} RIGHT )], [eqn: rmN left(it m, ~left( sigma over 20 right)^2 right)]을 따른다.
[eqn: Z _{{bar{X}}} = {{bar{X}} -m} over {{sigma } over {5}}]으로 놓으면 [eqn: Z_barX]는 표준정규분포 [eqn: rmN(0,~1)]을 따르므로
[eqn: rmP left (it m- sigmaover 5 le barX le m+ sigma over 5 right)]
[eqn: = rmP left(it {m - sigma over5 -m } over {sigma over5} le Z_barX le {m + sigma over5 -m } over {sigma over5} right)]
[eqn: = rmP( it -1le Z_barX le 1)]
또 [eqn: Z_barY = {barY - m } over {sigma over 20]으로 놓으면 [eqn: Z _barY]는 표준정규분포 [eqn: rmN(0,~1)]을 따르므로
[eqn: rmP left (it m- {k sigma}over 5 le barY le m+ {k sigma} over 5 right)]
[eqn: = rm P LEFT ( it {m- {k sigma} over {5} -m} over {{sigma } over {20}} LEQ Z _{{bar{Y}}} LEQ {m+ {k sigma} over {5} -m} over {{sigma } over {20}} RIGHT )]
[eqn: = rm P( it -4k LEQ Z _{{bar{Y}}} LEQ 4k)]
즉, [eqn: rmP( it -1le Z_barX le 1) =rmP(it -4k le Z _barY le 4k )]이므로 [eqn: 4k=1]    [eqn: THEREFORE ````k= {1} over {4}]

12  학생 [eqn: 2000]명 중에서 임의로 선택한 한 학생의 키를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N it (m, ~8^{2})]을 따른다.
[eqn: {RM P} it (X ge 177) = RM P ITleft (Z ge 177-m over 8 right) = 320 OVER 2000 =0.16]
이므로
[eqn: rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ {177-m} over {8} RIGHT ) =0.5-0.16=0.34]
[eqn: {RM P} it (0 leq Z leq 1)=0.34]이므로
[eqn: {177- m} over8 =1]    [eqn: THEREFORE] [eqn: m=169]
이때 이 학교 학생 [eqn: 2000]명 중에서 임의로 선택한 [eqn: 4]명의 키의 평균을 확률변수 [eqn: bar X]라 하면 [eqn: bar X]는 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( 169,~ {8 ^{2}} over {4} RIGHT )], 즉 [eqn: rm N it(169, ~4^2 )]을 따르므로 구하는 확률은
[eqn: {RM P} it ( bar X ge 177 ) = rm P it left ( Z ge 177-169 over4 right )]

[eqn: ={RM P} it (Z ge 2)=0.5-{RM P} it (0 leq Z leq 2)]

[eqn: =0.5-0.48=0.02]

Ⅲ. 통계

13  농장에서 생산된 참외 한 개의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N it ( 300,~20^2 )]을 따르므로 한 상자에 들어 있는 참외 [eqn: 16]개의 무게의 평균을 확률변수 [eqn: bar { X}]라 하면 [eqn: bar { X}]는 정규분포 [eqn: rm N left ( 300, ~ 20^2 over16 right )], 즉 [eqn: rm N (300,~5^2 )]을 따른다.
따라서 참외 한 상자가 일반 상품으로 분류되려면 [eqn: 4720 le 16 bar X le 4960], [eqn: 295 le barX le 310]
[eqn: therefore] [eqn: rm P it (295 le bar X le 310)]
[eqn: = rm P it left ( 295-300 over5 le Z le {310-300} over5 right )][eqn: =rm P it (-1 le Z le 2)][eqn: =rm P it (0 le Z le 1) + rm P ( 0 le it Z le 2)][eqn: = 0.3413+ 0.4772 = 0.8185]

14  모비율이 [eqn: p]이고 표본의 크기가 [eqn: n=25]이므로
표본비율 [eqn: hatp]의 평균과 분산은
[eqn: rmE it( hatp ) =p], [eqn: rmV(it hatp ) = pq overn = pq over25 = LEFT ( { sqrt { pq} } over { 5} RIGHT )^2]
이때 표본의 크기 [eqn: 25]는 충분히 크므로 [eqn: hatp]은 정규분포 [eqn: rmN LEFT ( it p ,~ LEFT ( { sqrt { pq} } over { 5} RIGHT ) ^2 RIGHT )]을 따른다.
따라서 [eqn: rmP LEFT ( it |`hatp -p| le alpha sqrt { pq} RIGHT )= 0.95]에서
[eqn: rmP LEFT ( it - alpha sqrt { pq} le`hatp -p le alpha sqrt { pq} RIGHT )= 0.95]
[eqn: rmP LEFT ( it p- alpha sqrt { pq} le`hatp le p+alpha sqrt { pq} RIGHT )= 0.95]
이때 [eqn: Z = { hatp -p} over { { sqrt { pq} } over { 5} }]로 표준화하면
[eqn: rmP it LEFT ( {p- alpha sqrt { pq}-p } over { sqrt { pq} over5} le Z le {p+ alpha sqrt { pq}-p } over { sqrt { pq} over5} RIGHT )]
[eqn: = rmP LEFT ( it |`Z`| le { alpha sqrt { pq} } over { { sqrt { pq} } over {5 } } RIGHT )][eqn: = rmP LEFT ( it |`Z`| le {5alpha} RIGHT ) = 0.95]
[eqn: rmP it ( |`Z`| le 1.96 ) =0.95]이므로 [eqn: 5alpha = 1.96]
[eqn: therefore] [eqn: alpha = 0.392]

15  [eqn: RMP IT( -1.28 LE Z LE 1.28) = 2TIMES 0.4=0.8]이므로 모평균을 신뢰도 [eqn: 80%]로 추정할 때, 신뢰구간의 길이 [eqn: l]은
[eqn: l=2 TIMES 1.28 TIMES {sigma } over {sqrt {n}}]
또 [eqn: RMP IT(-k LE Z LE k)= alpha over100]라 하면 신뢰도
[eqn: alpha%]로 추정할 때, 신뢰구간의 길이 [eqn: 2l]은
[eqn: 2l=2 TIMES k TIMES {sigma } over {sqrt {n}}]
즉, [eqn: 2 TIMES 2 TIMES 1.28 TIMES {sigma } over {sqrt {n}}=2 TIMES k TIMES {sigma } over {sqrt {n}}]이므로
[eqn: k= 2.56]
따라서 [eqn: RMP IT(-2.56LE Z LE 2.56)= alpha over100]이므로
[eqn: rm P it (-2.56 LEQ Z LEQ 2.56)][eqn: =2 rm P it (0 LEQ Z LEQ 2.56)]
[eqn: =2 TIMES 0.495]
[eqn: =0.99= {99} over {100}]
[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha = 99]

16  [eqn: 100]명 중 어떤 사건에 해당하는 표본비율을 [eqn: hatp_1]이라 할 때, 표본의 크기 [eqn: 100]은 충분히 크므로 모비율 [eqn: p], [eqn: q] 대신 표본비율 [eqn: hatp_1], [eqn: hatq_1]을 이용한다.
따라서 모비율 [eqn: p]에 대한 신뢰도 [eqn: 95`%]의 신뢰구간을 구하면
[eqn: hatp_1 - k sqrt { {hatp_1 hatq_1 }over 100} le p le hatp_1 + k sqrt { {hatp_1 hatq_1 }over 100}]
(단, [eqn: rmP (it |``Z``| le k) = 0.95])
[eqn: 1over10 -c le p le 1over10 +c]와 비교하면
[eqn: hatp_1 = 1over10], [eqn: k sqrt { {hatp_1 hatq_1 }over 100} = c]

Ⅲ. 통계

[eqn: hatp_1 = 1over10]에서 [eqn: hatq_1 = 9 over10]이므로 이를 [eqn: k sqrt { {hatp_1 hatq_1 }over 100} = c]에 대입하면
[eqn: k = 100over3 c]    [eqn: cdotscdots] ㉠
또한 [eqn: n]명 중 어떤 사건에 해당하는 표본비율을 [eqn: hatp_2]라 할 때, 표본의 크기 [eqn: n]은 충분히 크므로 모비율 [eqn: p], [eqn: q] 대신 표본비율 [eqn: hatp_2], [eqn: hatq_2]를 이용한다.
따라서 모비율 [eqn: p]에 대한 신뢰도 [eqn: 95`%]의 신뢰구간을 구하면
[eqn: hatp_2 - k sqrt { {hatp_2 hatq_2 }over n} le p le hatp_2 + k sqrt { {hatp_2 hatq_2 }over n}]
(단, [eqn: rmP (it |``Z``| le k) = 0.95])
[eqn: 1over9 - s(n) le p le 1over9 + s(n)]과 비교하면
[eqn: hatp_2 = 1over9], [eqn: k sqrt { {hatp_2 hatq_2 }over n} = s(n)]에 대입하면
[eqn: s(n) = 100over3 c sqrt { { 1over9 times 8over9} over { n} }] ([eqn: because] ㉠)
주어진 조건에서 [eqn: s(n) = 50 over81 c]이므로
[eqn: 50 over81 c][eqn: = 100over3 c sqrt { { 1over9 times 8over9} over { n} }]   [eqn: therefore] [eqn: n=288]