난이도별 테스트(중)

정답과 해설

I. 경우의 수

1 [eqn: 37]     2 [eqn: 430]   3 ④    4 ④     5 [eqn: 280]

6 ②     7 [eqn: 360]    8 [eqn: 51]   9 [eqn: 110]     10 [eqn: 200]

11 ②   12 ①   13 ③   14 [eqn: 2]     15 [eqn: 462]

16 ①     17 [eqn: 50]   18 ④  19 ③    20 ③

1  서로 다른 [eqn: 4]개의 과목에서 중복을 허락하여
[eqn: 3]개를 택하여 일렬로 배열하는 중복순열의 수는 [eqn: RM_4 {SMALLPROD }_3]
물리Ⅰ을 제외한 [eqn: 3]개의 과목에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 택하여 일렬로 배열하는 중복순열의 수는 [eqn: RM_3 SMALLPROD_3]
따라서 구하는 방법의 수는
[eqn: RM_4 SMALLPROD _3 -_3 SMALLPROD _3 = 4^3 - 3^3 = 37]

2 한 자리의 자연수의 개수는 [eqn: {}_4 SMALLPROD_1 =4]
두 자리의 자연수의 개수는 [eqn: {}_4 SMALLPROD_1 TIMES {}_5 SMALLPROD_1 = 20]
세 자리의 자연수의 개수는 [eqn: {}_4 SMALLPROD_1 TIMES {}_5 SMALLPROD_2 = 100]
[eqn: 1`` BOX{~~}`BOX{~~}``BOX{~~}]의 자연수의 개수는 [eqn: {}_5 SMALLPROD_3 =125]
[eqn: 2`` BOX{~~}`BOX{~~}``BOX{~~}]의 자연수의 개수는 [eqn: {}_5 SMALLPROD_3 =125]
[eqn: 3`` 0``BOX{~~}``BOX{~~}]의 자연수의 개수는 [eqn: {}_5 SMALLPROD_2 =25]
[eqn: 3`` 1`BOX{~~}``BOX{~~}]의 자연수의 개수는 [eqn: {}_5 SMALLPROD_2 =25]
[eqn: 3`` 2``0``BOX{~~}]의 자연수의 개수는 [eqn: {}_5 SMALLPROD_1 =5]
따라서 [eqn: 3210]보다 작은 자연수의 개수는
[eqn: 4+20+100+125+125+25+25+5=429]이므로
[eqn: 3210]은 [eqn: 430]번째 수이다.

3  만의 자리에 올 수 있는 숫자는 [eqn: 0]을 제외한
[eqn: 3]가지
일의 자리에 올 수 있는 숫자는 [eqn: 1], [eqn: 3]의 [eqn: 2]가지
나머지 [eqn: 3]개의 자리에는 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]의 [eqn: 4]개의 숫자 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 뽑아 일렬로 배열하면 되므로 [eqn: RM_4 SMALLPROD _3]
따라서 구하는 홀수의 개수는
[eqn: 3 TIMES 2 TIMES _{4} SMALLPROD _{3} =384]

4  [eqn: 3]명의 학생이 과자 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C], [eqn: D], [eqn: E] 중에서 과자를 선택할 경우의 수는 [eqn: {}_5 SMALLPROD_3 = 125]
[eqn: 3]명의 학생이 모두 과자 [eqn: A]를 선택하지 않는 경우의 수는 [eqn: {}_4 SMALLPROD_3 = 64]
따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: 125-64= 61]

5  함수의 개수는 집합 [eqn: B]의 [eqn: 4]개의 원소 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 뽑아 집합 [eqn: A]의 [eqn: 4]개의 원소 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]에 각각 대응시키는 방법의 수와 같으므로
[eqn: m= _{4} SMALLPROD _{4} =256]
일대일함수의 개수는 집합 [eqn: B]의 [eqn: 4]개의 원소 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에서 서로 다른 [eqn: 4]개를 뽑아 집합 [eqn: A]의 [eqn: 4]개의 원소 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]에 각각 대응시키는 방법의 수와 같으므로
[eqn: n= _{4} rm P _{4} =24]
[eqn: THEREFORE] [eqn: m+n=280]

I. 경우의 수

6  (ⅰ) [eqn: 8]개의 공을 일렬로 나열하는 경우의 수는
[eqn: 8! over 5!2! = 168]
(ⅱ) 흰 공이 양쪽 끝에 오는 경우의 수는 흰 공 [eqn: 2]개를 제외한 [eqn: 6]개의 공을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같고, 이때 흰 공이 [eqn: 3]개, 빨간 공이 [eqn: 2]개이므로
[eqn: 6! over 3!2! = 60]
(ⅲ) 빨간 공이 양쪽 끝에 오는 경우의 수는 빨간 공 [eqn: 2]개를 제외한 [eqn: 6]개의 공을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같고, 이때 흰 공이 [eqn: 5]개이므로
[eqn: 6!over5! = 6]
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는
[eqn: 168-(60+6) = 102]

7  [eqn: RMi], [eqn: RMe]의 순서가 정해져 있으므로 [eqn: RMi], [eqn: RMe]를 모두 [eqn: □]로 생각하여 [eqn: 6]개의 문자를 일렬로 나열한 후 [eqn: □]에 [eqn: rmi], [eqn: rme]를 순서대로 넣어 주면 된다.
따라서 [eqn: rmf], [eqn: rmr], [eqn: □], [eqn: □], [eqn: rmn], [eqn: rmd]를 일렬로 나열하는 경우의 수는
[eqn: 6!over2! = 360]

8  [eqn: rm A` -> `Y` -> `B]인 최단 경로의 수는
[eqn: 7! OVER 4!3! TIMES 3!OVER2! = 105]
[eqn: rm A` -> `X` -> `Y` -> `B]인 최단 경로의 수는
[eqn: 4!OVER2!2! TIMES 3!OVER2! TIMES 3!OVER2! = 54]
따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: 105-54=51]

9  구하는 최단 경로의 수는 다음 그림에서 [eqn: rm P]지점을 거치지 않고 [eqn: \A]지점에서 [eqn: rm B]지점으로 가는 최단 경로의 수와 같다.

[eqn: \A][eqn: ->][eqn: \B]인 최단 경로의 수는
[eqn: 10! over{6! 4! }= 210]
[eqn: \A][eqn: ->][eqn: \P][eqn: ->][eqn: \B]인 최단 경로의 수는
[eqn: 5! over{3! 2!}times 5! over{3! 2!}=100]
따라서 구하는 최단 경로의 수는
[eqn: 210-100=110]

10  먼저 [eqn: 4]명의 학생에게 사과와 배를 각각 한 개씩 나누어 주면 사과 [eqn: 3]개, 배 [eqn: 2]개가 남는다.
(ⅰ) 사과 [eqn: 3]개를 [eqn: 4]명에게 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 4]개에서 [eqn: 3]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 [eqn: RM_4 RMH_3 = _6RMC_3 = 20]
(ⅱ) 배 [eqn: 2]개를 [eqn: 4]명에게 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 4]개에서 [eqn: 2]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 [eqn: RM_4 RMH_2 = _5RMC_2 = 10]
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는
[eqn: 20TIMES10=200]

11  비어 있는 필통 [eqn: 1]개를 선택하는 경우의 수는
[eqn: {}_5 RMC_1 =5]
나머지 필통에 연필을 [eqn: 1]개씩 넣은 후 남은 [eqn: 6]개의 연필을 [eqn: 4]개의 필통에 넣는 경우의 수는
[eqn: {}_6 RMH_4 =126]
따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 5 TIMES 126 = 630]

난이도별 테스트(중)

12  [eqn: x geq1], [eqn: y geq3], [eqn: z geq4]이므로
[eqn: x-1 geq0], [eqn: y-3 geq0], [eqn: z-4geq0]
[eqn: x-1=a], [eqn: y-3=b], [eqn: z-4=c]라 하면
[eqn: a+b+c=6`]([eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 음이 아닌 정수)
따라서 구하는 정수해의 개수는 방정식
[eqn: a+b+c=6]을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로
[eqn: rm _{3} rm H _{6} = _{8} rm C _{6} = _{8} rm C _{2} =28]

13  주어진 조건에서
[eqn: f(1) leq f(2) leq f(3)] ……㉠
따라서 이를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는 정의역의 원소 [eqn: 3]개에 대응할 공역의 원소 [eqn: 5]개 중에서 [eqn: 3]개를 순서에 상관없이 중복을 허락하여 뽑은 후 ㉠을 만족하도록 크기순으로 배열하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: rm_5rmH_3 = _7rmC_3 = 35]

14  [eqn: LEFT ( x- {a} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{6}]의 전개식의 일반항은
[eqn: rm _{6} rm C _{it r rm} it x ^{6- it r} LEFT ( - {a} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{it r} = rm _{6} rm C _{it r rm} it (-a) ^{it r} x ^{6-3 it r}]
상수항은 [eqn: 6-3r=0]일 때이므로 [eqn: r=2]
따라서 상수항은 [eqn: rm_6rmC_2 (it -a)^2 = 60]이므로
[eqn: 15a^2 = 60], [eqn: a ^{2} =4]
[eqn: THEREFORE] [eqn: a=2] ([eqn: BECAUSE] [eqn: a>0])

15  [eqn: LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) ^{10}]의 전개식의 일반항은
[eqn: rm _{10} rm C _{it r rm} it x ^{10-r} LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{r} = _{10} rm C _{it r rm} it x ^{10-2r}] ……㉠
상수항은 [eqn: (x^2 +1 )]의 [eqn: x^2]과 ㉠의 [eqn: 1over x^2]항의 곱 또는 [eqn: (x^2 +1)]의 [eqn: 1]과 ㉠의 상수항의 곱이다.
(ⅰ) [eqn: (x ^{2} +1)]의 [eqn: x^2]과 ㉠의 [eqn: 1over x^2]항의 곱인 경우
㉠에서 [eqn: 1over x^2]항은 [eqn: 10-2r = -2]일 때이므로
[eqn: r=6]
㉠에서 [eqn: 1over x^2]의 계수는 [eqn: rm _{10} rm C _{6} =210]
따라서 상수항은 [eqn: 1times210=210]
(ⅱ) [eqn: (x^2 +1)]의 [eqn: 1]과 ㉠의 상수항의 곱인 경우
㉠에서 상수항은 [eqn: 10-2r=0]일 때이므로
[eqn: r=5]
㉠에서 상수항은 [eqn: rm _{10} rm C _{5} =252]
따라서 상수항은 [eqn: 1times252=252]
(ⅰ), (ⅱ)에서 상수항은
[eqn: 210+252=462]

16  [eqn: (1+2x)^4]의 전개식의 일반항은
[eqn: rm _{4} rm C _{it r rm} it (2x) ^{r} = _{4} rm C _{it r rm} 2 ^{it r rm} it x ^{r}]
[eqn: (1-x)^5]의 전개식의 일반항은
[eqn: rm _{5} rm C _{it s rm} it (-x) ^{s} = _{5} rm C _{it s rm} it (-1) ^{s} x ^{s}]
따라서 [eqn: (1+2x)^4 (1-x)^5]의 전개식의 일반항은
[eqn: rm _{4} rm C _{it r rm} 2 ^{it r rm} it x ^{r} TIMES _{5} rm C _{it s rm} it (-1) ^{s} x ^{s}][eqn: = _{4} rm C _{it r rm} times rm _{5} rm C _{it s rm} it 2^r (-1) ^{s} x ^{r+s}]
……㉠
[eqn: x^2]항은 [eqn: r+s = 2`]([eqn: 0 leqr leq4], [eqn: 0 leq s leq5])일 때이므로 [eqn: r=0], [eqn: s=2] 또는 [eqn: r=1], [eqn: s=1] 또는
[eqn: r=2], [eqn: s=0]

I. 경우의 수

(ⅰ) [eqn: r=0], [eqn: s=2]인 경우

㉠에서 [eqn: rm _{4} rm C _{0} times rm _{5} rm C _{2} times 2 ^{0} times (-1) ^{2} =10]
(ⅱ) [eqn: r=1], [eqn: s=1]인 경우
㉠에서 [eqn: rm _{4} rm C _{1} times rm _{5} rm C _{1} times 2 ^{1} times (-1) ^{1} =-40]
(ⅲ) [eqn: r=2], [eqn: s=0]인 경우

㉠에서 [eqn: rm _{4} rm C _{2} times rm _{5} rm C _{0} times 2 ^{2}times (-1) ^{0} =24]
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: x^2]의 계수는
[eqn: 10+(-40) +24 = -6]

17  [eqn: (x ^{2} +x+1) ^{6}]의 전개식의 일반항은
[eqn: {6!} over {p!q!r!} (x ^{2} ) ^{p} x ^{q} 1 ^{r} = {6!} over {p!q!r!} x ^{2p+q}]
(단, [eqn: p+q+r = 6], [eqn: p geq 0], [eqn: q geq0], [eqn: r geq0]인 정수)
[eqn: x^2p+q = x^3]에서 [eqn: 2p+q=3]이므로
[eqn: p=0], [eqn: q=3], [eqn: r=3] 또는 [eqn: p=1], [eqn: q=1], [eqn: r=4]
따라서 [eqn: x^3]의 계수는
[eqn: {6!} over {0!3!3!} + {6!} over {1!1!4!} =50]

18 [eqn: rm _{n} rm C _{it r rm} = rm _{it n rm} rm C _{it n-r rm} ` it (0 LEQ r LEQ n)]이므로
[eqn: rm _{12} rm C _{0} + rm _{12} rm C _{1} + rm _{12} rm C _{2} + CDOTS + rm _{12} rm C _{5}]
[eqn: = rm _{12} rm C _{12} + rm _{12} rm C _{11} + rm _{12} rm C _{10} + CDOTS + rm _{12} rm C _{7}]
[eqn: rm _{12} rm C _{0} + rm _{12} rm C _{1} + rm _{12} rm C _{2} + CDOTS + rm _{12} rm C _{12} =2 ^{12}]이므로
[eqn: rm _{12} rm C _{0} + rm _{12} rm C _{1} + rm _{12} rm C _{2 } + cdots +rm _{12} rm C _{5}][eqn: = {1} over {2} TIMES (2 ^{12} - _{12} rm C _{6} )]
[eqn: =2^11 - 462]
[eqn: =1586]

19  [eqn: rm _{2} rm C it rm _{0} = rm _{3} rm C it rm _{0}]이고 파스칼의 삼각형의 성질 중
[eqn: rm _{n} rm C _{it r rm} = rm _{it n-1 rm} rm C _{it r-1 rm} + rm _{it n-1 rm} rm C _{it r rm}]를 이용하면
[eqn: rm _{2} rm C it rm _{0} + _{3} rm C it rm _{1} + _{4} rm C it rm _{2} + CDOTS + _{20} rm C it rm _{18}]
[eqn: = _{3} rm C it _{0} + _{3} rm C it _{1} + _{4} rm C it _{2} + CDOTS + _{20} rm C it _{18}]
[eqn: = _{4} rm C it rm _{1} + _{4} rm C it rm _{2} + _{5} rm C it rm _{3} + CDOTS + _{20} rm C it rm _{18}]
[eqn: = _{5} rm C it rm _{2} + _{5} rm C it rm _{3} + CDOTS + _{20} rm C it rm _{18}]
[eqn: VDOTS]
[eqn: = _{20} rm C it rm _{17} + _{20} rm C it rm _{18}]
[eqn: = _{21} rm C it _{18}]

20  [eqn: 31 ^{50}][eqn: =(1+30) ^{50}]

[eqn: = _{50} rm C _{0} +30 _{50} rm C _{1} +30 ^{2} rm _{50} rm C _{2} + CDOTS +30 ^{50} rm _{50} rm C _{50}]

[eqn: =1+30 TIMES 50]

[eqn: +30 ^{2} ( _{50} rm C _{2} +30 _{50} rm C _{3} + CDOTS +30 ^{48} rm _{50} rm C _{50} )]

[eqn: =1501+900k]
따라서 [eqn: 31^50]을 [eqn: 900]으로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 1501]을 [eqn: 900]으로 나누었을 때의 나머지와 같으므로
[eqn: 601]