난이도별 테스트(중)

정답과 해설

Ⅱ. 확률

1 ④    2 [eqn: {3} over {10}]    3 ③    4 [eqn: 9OVER16]    5 ③

6 [eqn: {1} over {21}]    7 ⑤     8 ⑤    9 ①      10 ②

11 [eqn: 4]    12 ④    13 [eqn: 4OVER9]   14 [eqn: 2OVER3]    15 ④

16 [eqn: 0.49]  17 [eqn: 10 OVER19]   18 ③   19 ④   20 [eqn: 16OVER81]

1  [eqn: 7]개의 의자에 두 사람이 앉는 방법의 수는
[eqn: rm _{7} rm P it rm _{2}]
의자에 두 사람이 앉고 남은 의자 [eqn: 5]개 중 [eqn: 1]개를 두 사람 사이에 놓고 두 사람의 자리가 바뀌는 방법의 수는
[eqn: rm _{5} rm P it rm _{1} TIMES 2!]
따라서 구하는 확률은
[eqn: {rm _{5} rm P _{1} TIMES 2! it} over {rm _{7} rm P _{2} it} = {5} over {21}]

2  만들 수 있는 세 자리의 정수의 개수는 [eqn: rm _{5} rm P _{3}]
(ⅰ) [eqn: 34□]인 경우의 수는 [eqn: 2]
(ⅱ) [eqn: 35□]인 경우의 수는 [eqn: 1]
(ⅲ) [eqn: 4□□]인 경우의 수는 [eqn: 3TIMES3=9]
(ⅳ) [eqn: 5□□]인 경우의 수는 [eqn: 2TIMES3=6]
(ⅰ)~(ⅳ)에서 [eqn: 340]보다 큰 홀수인 경우의 수는
[eqn: 2+1+9+6=18]
따라서 구하는 확률은
[eqn: {18} over {rm _{5} rm P _{3} it} = {3} over {10}]

3  [eqn: 12]개의 동전 중에서 [eqn: 6]개를 뽑는 경우의 수는
[eqn: rm _{12} rm C it rm _{6} =924]
합계 금액이 [eqn: 500]원 이상인 경우는
(ⅰ) [eqn: 100]원짜리 동전 [eqn: 6]개일 때, [eqn: RM _{6} rm C it _{6} =1]
(ⅱ) [eqn: 100]원짜리 동전 [eqn: 5]개, [eqn: 10]원짜리와 [eqn: 50]원짜리
동전 중에서 [eqn: 1]개일 때, [eqn: rm _{6} rm C it rm _{5} TIMES _{6} rm C it rm _{1} =36]
(ⅲ) [eqn: 100]원짜리 동전 [eqn: 4]개, [eqn: 50]원짜리 동전 [eqn: 2]개일      때, [eqn: rm _{6} rm C it rm _{4} TIMES _{4} rm C it rm _{2} =90]
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 확률은
[eqn: {1+36+90} over {924} = {127} over {924}]

4  학생 [eqn: 3]명이 [eqn: 4]종류의 음료 중에서 각각 한 개씩 골라 주문하는 모든 경우의 수는
[eqn: rm _{4} SMALLPROD _{3} = 4^3 = 64]
같은 음료를 주문하는 학생 [eqn: 2]명을 정하는 경우의 수는 [eqn: {} _{3} rmC _{2}]이고, 이 학생 [eqn: 2]명이 주문할 음료를 고르는 경우의 수는 [eqn: 4], 나머지 한 학생이 주문할 음료를 고르는 경우의 수는 [eqn: 3]이므로 학생 [eqn: 2]명만 같은 음료를 고르는 경우의 수는
[eqn: {} _{3} rm C _{2} TIMES 4 TIMES 3 = 36]
따라서 구하는 확률은 [eqn: { 36} over {64 } ={ 9} over {16 }]

5  [eqn: rm A]지점에서 [eqn: rm L]지점으로 가는 최단 경로의 수는
[eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {4!} over {2!} =12]
[eqn: rm A]지점에서 [eqn: rmB]지점을 지나 [eqn: rm L]지점으로 가는 최단 경로의 수는 [eqn: 1times 3! = 6]
따라서 구하는 확률은 [eqn: {6} over {12} = {1} over {2}]

Ⅱ. 확률

6  흰 공 [eqn: 4]개와 검은 공 [eqn: 5]개를 일렬로 나열하는
경우의 수는 [eqn: 9! over 4!5! = 126]
좌우대칭이 되는 경우는 검은 공 [eqn: 1]개가 맨 앞에서 [eqn: 5]번째에 오고 좌우에 각각 흰 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 2]개가 오는 경우이다.
왼쪽의 순서가 정해지면 오른쪽의 순서는 자동으로 정해지므로 [eqn: 4! over 2!2! = 6]
따라서 구하는 확률은 [eqn: {6} over {126} = {1} over {21}]

7  흰 공의 개수를 [eqn: x]라 하면 [eqn: 8]개의 공 중에서 [eqn: 2]개를 꺼낼 때, 모두 흰 공일 확률은
[eqn: {rm _{x} rm C _{2} it} over {rm _{8} rm C _{2} it} = {x(x-1)} over {56}]
이 시행에서 [eqn: 4]번에 [eqn: 3]번꼴로 [eqn: 2]개 모두 흰 공을 꺼냈으므로 통계적 확률은 [eqn: 3over4]
따라서 [eqn: {x(x-1)} over {56} = {3} over {4}]이므로
[eqn: x^2 - x - 42 = 0], [eqn: (x-7)(x+6) = 0]
[eqn: THEREFORE] [eqn: x=7] ([eqn: BECAUSE] [eqn: x>0])

8  오른쪽 그림과 같이 점 [eqn: rmP]가 [eqn: RMBAR AB]를 지름으로 하는 반원 위에 있을 때, [eqn: RM TRIANGLE PAB]는 직각삼각형이므로 색칠한 부분에 점 [eqn: RMP]를 잡으면 [eqn: RM TRIANGLE PAB]는 예각삼각형이 된다.
따라서 구하는 확률은
[eqn: {(색칠한~부분의~넓이)} over {( rm □ABCD의~넓이) it}][eqn: = {1- {1} over {2} TIMES pi TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}} over {1 TIMES 1}]
[eqn: =1- {pi } over {8}]

9  [eqn: A ^{C} SMALLINTER B ^{C} =(A CUP B) ^{C}]이므로
[eqn: rm P it (A ^{C} SMALLINTER B ^{C} `)= rm P it ((A CUP B) ^{C} `)]
[eqn: =1- rm P it (A CUP B)=0.4]
[eqn: THEREFORE] [eqn: RMP IT (A CUP B) = 0.6]
[eqn: rm P it (A CUP B)= rm P it (A)+ rm P it (B)- rm P it (A SMALLINTER B)]이므로
[eqn: 0.6=0.3+0.5- rm P it (A SMALLINTER B)]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm P it (A SMALLINTER B)=0.2]
[eqn: A SMALLINTER B ^{C} =A-B=A-(A SMALLINTER B)]이므로
[eqn: rm P it (A SMALLINTER B ^{C} `)= rm P it (A)- rm P it (A SMALLINTER B)=0.3-0.2=0.1]

10  [eqn: f(1)=1]인 사건을 [eqn: A], [eqn: f(2) =2]인 사건을 [eqn: B]라
하면
[eqn: rm P it (A)= {rm _{7} SMALLPROD _{3}} over {rm _{7} SMALLPROD _{4}} = {7 ^{3}} over {7 ^{4}} = {1} over {7}],
[eqn: rm P it (B)= {rm _{7} SMALLPROD _{3}} over {rm _{7} SMALLPROD _{4}} = {7 ^{3}} over {7 ^{4}} = {1} over {7}],
[eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= {rm _{7} SMALLPROD _{2}} over {rm _{7} SMALLPROD _{4}} = {7 ^{2}} over {7 ^{4}} = {1} over {49}]
따라서 구하는 확률은
[eqn: rm P it (A CUP B)= rm P it (A)+ rm P it (B)- rm P it (A SMALLINTER B)]
[eqn: = {1} over {7} + {1} over {7} - {1} over {49} = {13} over {49}]

11  적어도 한 개가 당첨 제비일 확률이 [eqn: 7OVER19]이므
로 [eqn: 2]개가 모두 꽝일 확률은
[eqn: 1- {7} over {19} = {12} over {19}]
따라서 [eqn: {rm _{20-x} rm C _{2} it} over {rm _{20} rm C _{2} it} = {12} over {19}]이므로
[eqn: {(20-x)(19-x)} over {20 TIMES 19} = {12} over {19}], [eqn: (20-x)(19-x)=240]
[eqn: x ^{2} -39x+140=0], [eqn: (x-4)(x-35) = 0]
[eqn: THEREFORE] [eqn: x=4] ([eqn: BECAUSE] [eqn: 0 le x le 20])

난이도별 테스트(중)

12  [eqn: pq - q^2 - pr+qr = (p-q)(q-r)]이므로
[eqn: (r-s)(p-q)(q-r)=0]인 사건을 [eqn: A]라 하면
[eqn: A^C]은 [eqn: (r-s)(p-q)(q-r) != 0]인 사건이다.
즉, [eqn: p != q], [eqn: q!=r], [eqn: r!=s]이므로
[eqn: rm P it (A ^{C} `)= {6 TIMES 5 TIMES 5 TIMES 5} over {6 ^{4}} = LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{3}]
[eqn: THEREFORE] [eqn: P(A)=1-P(A ^{C} `)=1- LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{3}]

13  [eqn: rm P it (A ^{C} SMALLINTER B ^{C} `)= rm P it ((A CUP B) ^{C} `)]
[eqn: =1- rm P it (A CUP B)= {1} over {3}]
[eqn: rm THEREFORE ````P it (A CUP B)= {2} over {3}]
[eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= rm P it (B) rm P it (A`|`B)= {1} over {4} rm P it (B)]이므로
[eqn: rm P it (A CUP B)= rm P it (A)+ rm P it (B)- rm P it (A SMALLINTER B)]에서
[eqn: {2} over {3} = {1} over {3} + rm P it (B)- {1} over {4} rm P it (B)]
[eqn: {3} over {4} rm P it (B)= {1} over {3}]    [eqn: THEREFORE] [eqn: rm P it (B)= {4} over {9}]

14  임의로 뽑은 참가자가 청소년인 사건을 [eqn: A], 여자인 사건을 [eqn: B]라 하면
[eqn: rmP(itA)= {1} over {5}], [eqn: rmP(itB)= {1} over {3}], [eqn: rmP(itA smallunion B)= {2} over {5}]
[eqn: rm P( it A CUP B)= rm P( it A)+ rm P( it B)- rm P( it A SMALLINTER B)]에서
[eqn: rm {2} over {5} = {1} over {5} + rm {1} over {3} - rm P( it A SMALLINTER B)]   [eqn: rm THEREFORE ```` rm P( it A SMALLINTER B)= {2} over {15}]
따라서 구하는 확률은
[eqn: rm P( it B`|`A) = {rm P( it A SMALLINTER B)} over {rm P( rm itA) it} = {{2} over {15}} over {{1} over {5}} = {2} over {3}]

15  세호와 지섭이가 파란색 선글라스를 사는
사건을 각각 [eqn: A], [eqn: B]라 하면
[eqn: RMP IT (A)=0.4], [eqn: RMP IT (B) =0.5], [eqn: RMP IT(B`|`A) = 0.7]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= rm P it (A) rm P it (B`|`A)]
[eqn: = 0.4 TIMES 0.7 = 0.28]
따라서 구하는 확률은
[eqn: rm P it (A CUP B)= rm P it (A)+ rm P it (B)- rm P it (A SMALLINTER B)]
[eqn: =0.4+0.5-0.28=0.62]

16  내일 비가 오는 사건을 [eqn: A], 내일 시합에서
이기는 사건을 [eqn: E]라 하면 내일 비가 오지 않는 사건은 [eqn: A^C]이므로
[eqn: RMP IT(A) = 0.3], [eqn: RMP IT (A^C `) =1-0.3= 0.7]
[eqn: RMP IT (E`|`A) = 0.7], [eqn: rm P it (E`|`A ^{C} `)=0.4]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm P it (E)= rm P it (A SMALLINTER E)+ rm P it (A ^{C} SMALLINTER E)]
[eqn: = rm P it (A) rm P it (E`|`A)+ rm P it (A ^{C} `) rm P it (E`|`A ^{C} `)]
[eqn: =0.3 TIMES 0.7+0.7 TIMES 0.4=0.49]

17  기계 [eqn: RMA]에서 만들어진 볼트를 택하는 사건을
[eqn: X], 기계 [eqn: RMB]에서 만들어진 볼트를 택하는 사건을 [eqn: Y], 불량품인 사건을 [eqn: E]라 하면
[eqn: rm P it (X SMALLINTER E)= rm P it (X) rm P it (E`|`X)=0.4 TIMES 0.05=0.02]
[eqn: rm P it (Y SMALLINTER E)= rm P it (Y) rm P it (E`|`Y)=0.6 TIMES 0.03=0.018]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm P it (E)= rm P it (X SMALLINTER E)+ rm P it (Y SMALLINTER E)]
[eqn: =0.02+0.018=0.038]
따라서 구하는 확률은
[eqn: rm P it (X`|`E)= {rm P it (X SMALLINTER E)} over {rm P it (E)} = {0.02} over {0.038} = {10} over {19}]

Ⅱ. 확률

18  ① [eqn: RMP IT (A ^{C} SMALLINTER B)=RMP IT (B)- RMP IT (A SMALLINTER B)]
[eqn: =RMP IT (B)-RMP IT (A)RMP IT (B)]
[eqn: = rm P it (B) LEFT { 1- rm P it (A) RIGHT }]
[eqn: = rm P it (B) rm P it (A ^{C} `)]
따라서 [eqn: A^C], [eqn: B]는 독립이다.
② ①의 결과로부터 [eqn: A], [eqn: B]가 독립이면 [eqn: A], [eqn: B^C]도 독립이므로 [eqn: RMP IT (A `|` B ^{C}` )=RMP IT (A)]
③ [eqn: A], [eqn: B]가 배반사건이면
[eqn: RMP IT (A)+RMP IT (B)=RMP IT (A CUP B)]이고, 임의의 사건 [eqn: C]에 대하여 [eqn: 0 LEQ RMP IT (C) LEQ 1]이므로 [eqn: rm P it (A CUP B) LEQ 1]
④ [eqn: A], [eqn: B]가 배반사건이면 [eqn: RMP IT (A SMALLINTER B)=0]
[eqn: RMP IT (A) != 0], [eqn: rm P it (B) != 0]이므로 [eqn: RMP IT (A) RMP IT (B) != 0]
따라서 [eqn: rm P it (A SMALLINTER B) != rm P it (A) rm P it (B)]이므로 [eqn: A], [eqn: B]는
종속이다.
⑤ [eqn: A], [eqn: B]가 배반사건이면
[eqn: RMP IT (A)+RMP IT (B)= RMP IT(A CUPB) LEQ 1]이므로
[eqn: rm P it (B) LEQ 1- rm P it (A)]에서 [eqn: RMP IT (B) LE RMP IT (A ^{C} `)]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm P it (B`|`A ^{C} `)= {RMP IT(B CAP A^C`)} OVER{RMP IT(A^C`)}]
[eqn: = {rm P it (B)- rm P it (A SMALLINTER B)} over {rm P it (A ^{C} `)}]
[eqn: = {rm P it (B)} over {rm P it (A ^{C} `)} LEQ 1]

19  이 학생이 [eqn: 1]문제를 풀어서 정답을 맞힐 확률은 [eqn: 2OVER3]이고 [eqn: 5]문제 중 [eqn: 4]문제 이상 정답을 맞힐 확률은
[eqn: rm _{5} rm C _{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1} + _{5} C _{5} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{5} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{0}][eqn: = {80} over {243} + {32} over {243}]
[eqn: = {112} over {243}]

20  다섯 번째 경기에서 갑이 우승하려면 네 번째 경기까지 갑이 [eqn: 2]번, 을이 [eqn: 2]번 이긴 다음 다섯 번째 경기에서 갑이 이겨야 한다.
따라서 구하는 확률은
[eqn: rm_{4} rm C _{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} TIMES {2} over {3} = 16over81]