난이도별 테스트(중)

정답과 해설

Ⅲ. 통계

1 [eqn: 1over8]     2 [eqn: 2OVER15]    3 ①    4 ②     5 ⑤

6 ⑤      7 ②      8 ④    9 [eqn: 64]     10 [eqn: 23]

11 영어, 수학, 국어 12 (1) [eqn: 21.5%] (2) [eqn: 32.84]

13 [eqn: 0.0228]          14 [eqn: 10 OVER9]  15 [eqn: 0.9544]

16 [eqn: 0.8185]        17 [eqn: 2.7 LEQ m LEQ 2.9]    18 ③

19 [eqn: 0.1216 le p le 0.2784]       20 ①

1  [eqn: a+ {1} over {4} + {3} over {8} +4a+ {1} over {16} =1]에서 [eqn: a= {1} over {16}]
[eqn: X ^{2} -1>0]을 풀면
[eqn: (X+1)(X-1)>0]    [eqn: THEREFORE] [eqn: X"<"-1] 또는 [eqn: X>1]
따라서 구하는 확률은
[eqn: rm P( it X ^{2} -1 >0)][eqn: = rm P( it X=-2)+ rm P( it X=2)]
[eqn: = {1} over {16} + {1} over {16} = {1} over {8}]

2  [eqn: RMA]주머니에서 흰 공을 꺼낸 경우
[eqn: {1} over {2} TIMES {rm _{4} rm C _{0} TIMES _{2} rm C _{2} it} over {rm _{6} rm C _{2} it} = {1} over {30}]
[eqn: RMA]주머니에서 검은 공을 꺼낸 경우
[eqn: {1} over {2} TIMES {rm _{3} rm C _{0} TIMES _{3} rm C _{2} it} over {rm _{6} rm C _{2} it} = {1} over {10}]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm P it (X=2)= {1} over {30} + {1} over {10} = {2} over {15}]

3  [eqn: y= f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 삼각형
의 넓이가 [eqn: 1]이므로
[eqn: {1} over {2} TIMES 100 TIMES a=1]   [eqn: THEREFORE] [eqn: a= {1} over {50}]
승용차 한 대를 [eqn: 70]개월 이상 사용할 확률은
[eqn: {1} over {2} TIMES 30 TIMES {1} over {50} = {3} over {10}]
따라서 승용차 [eqn: 2]대 모두 [eqn: 70]개월 이상 사용할 확은 [eqn: {3} over {10} TIMES {3} over {10} = {9} over {100}]
즉, [eqn: 9%]이다.

4  받을 수 있는 금액을 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 0], [eqn: 100], [eqn: 500], [eqn: 600], [eqn: 1000], [eqn: 1100]이고 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 100]	[eqn: 500]	[eqn: 600]	[eqn: 1000]	[eqn: 1100]	합계
[eqn: rmP it (X=x)]	[eqn: 1OVER8]	[eqn: 1OVER8]	[eqn: 1OVER4]	[eqn: 1OVER4]	[eqn: 1OVER8]	[eqn: 1OVER8]	[eqn: 1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm E it (X)=0 TIMES {1} over {8} +100 TIMES {1} over {8} +500 TIMES {1} over {4} +600 TIMES {1} over {4}]
[eqn: +1000 TIMES {1} over {8} +1100 TIMES {1} over {8} =550]
따라서 구하는 기댓값은 [eqn: 550]원이다.

5  확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수는
[eqn: rm P it (X=x)= rm {rm _{3} C _{it x rm} TIMES _{3} C _{it 3-x rm}} over {rm _{6} C _{3}} `]([eqn: x=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3])이므로
[eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rmP it (X=x)]	[eqn: 1OVER20]	[eqn: 9OVER20]	[eqn: 9OVER20]	[eqn: 1OVER20]	[eqn: 1]

[eqn: rm E it (X)=0 TIMES {1} over {20} +1 TIMES {9} over {20} +2 TIMES {9} over {20} +3 TIMES {1} over {20} = {3} over {2}]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm E it (2X+3)= rm 2E it (X)+3=2 TIMES {3} over {2} +3=6]

Ⅲ. 통계

6  확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: RMB IT (n,~p)]를 따른다고 하면 [eqn: np=6], [eqn: np(1-p) = 2]이므로
[eqn: n=9], [eqn: p= {2} over {3}]
따라서 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 9,~ {2} over {3} RIGHT )]를 따르므로 확률질량함수는
[eqn: rm P it (X=x)= _{9} rm C _{it x rm} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{it x rm} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{it 9-x rm} `]([eqn: x=0], [eqn: 1], [eqn: cdots], [eqn: 9])
[eqn: THEREFORE] [eqn: {rm P( it X=4)} over {rm P it (X=3)} = {rm _{9} rm C _{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{5} it} over {rm _{9} rm C _{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{6} it} = {rm _{9} rm C _{4} {2} over {3} it} over {rm _{9} rm C _{3} {1} over {3} it} =3]

7  확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B it LEFT ( n,~ {1} over {2} RIGHT )]을 따르므로
[eqn: rm E it (X)= {n} over {2}], [eqn: rm V it (X) = n over 4]
[eqn: rm V it (X)={\E it (X ^{2} )- LEFT { rm E it (X) RIGHT } ^{2}]에서
[eqn: {n} over {4} =105- {n ^{2}} over {4}], [eqn: n ^{2} +n-420=0]
[eqn: (n+21)(n-20)=0]    [eqn: THEREFORE] [eqn: n=20] ([eqn: BECAUSE] [eqn: n>0])
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm V it (2X)=2 ^{2} times rm V it (X)=4 TIMES {20} over {4} =20]

8  확률변수 [eqn: X]의 평균이 [eqn: 40]이므로 [eqn: X]의 확률밀도함수는 [eqn: x=40]에서 최댓값을 갖고, 정규분포 곡선은 직선 [eqn: x=40]에 대하여 대칭이다.
[eqn: RMP IT(a-2 le X le a+4)]가 최대가 되려면
[eqn: {a-2+a+4} over {2} =40]
[eqn: a+1=40]   [eqn: THEREFORE] [eqn: a=39]

9  [eqn: rmP(it X lea) = 0.0228]에서
[eqn: rm P( it X LEQ m)- rm P it (a LEQ X LEQ m)=0.0228]
[eqn: 0.5- rm P( it a LEQ X LEQ m)=0.0228]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rmP it(a le X le m) = 0.4772]
이때 [eqn: rm P it (m LEQ X LEQ m+2 sigma )=0.4772]이므로
[eqn: rm P it (m-2 sigma LEQ X LEQ m)=0.4772]
따라서 [eqn: a= m-2sigma]이므로
[eqn: a= 70-2times3 = 64]

10  확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: rm N(10,~25)]를 따르므로
[eqn: rm P( it 12 LEQ X LEQ 18)][eqn: = rm P LEFT ( it {12-10} over {5} LEQ {X-10} over {5} LEQ {18-10} over {5} RIGHT )]
[eqn: = rm P(0.4 LEQ it Z LEQ 1.6)]
[eqn: = rm P(0 LEQ it Z LEQ 1.6)- rm P(0 LEQ it Z LEQ 0.4)]
[eqn: = 0.45-0.16=0.29]
확률변수 [eqn: Y]가 정규분포 [eqn: rmN(20,~36)]을 따르므로
[eqn: rm P( it a LEQ Y LEQ 32)]
[eqn: = rm P LEFT ( it {a-20} over {6} LEQ {Y-20} over {6} LEQ {32-20} over {6} RIGHT )]
[eqn: = rm P LEFT ( it {a-20} over {6} LEQ Z LEQ 2 RIGHT )]
[eqn: = rm P(0 LEQ it Z LEQ 2)- rm P LEFT ( 0 LEQ it Z LEQ {a-20} over {6} RIGHT )]
[eqn: =0.48-rm P left( it 0 LEQ Z LEQ {a-20} over {6}right)]
따라서
[eqn: 0.29=0.48- rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ {a-20} over {6} RIGHT )]이므로
[eqn: rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ {a-20} over {6} RIGHT ) =0.19]
이때 [eqn: rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ 0.5 RIGHT ) =0.19]이므로
[eqn: {a-20} over {6} =0.5]   [eqn: THEREFORE] [eqn: a =23]

난이도별 테스트(중)

11  인호의 각 과목의 점수를 표준화하면
국어: [eqn: {69-62} over {14} = {1} over {2}]
영어: [eqn: {63-53} over {10} =1]
수학: [eqn: {61-49} over {15} = {4} over {5}]
따라서 인호가 다른 학생들보다 상대적으로 점수가 높은 과목은 순서대로 영어, 수학, 국어이다.

12  (1) 한 가구당 도시가스 사용량을 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rmN (38, ~4^2 )]을 따르므로 [eqn: Z = X-38over4]로 놓으면 [eqn: Z]는 표준정규분포 [eqn: rm N(0,~1)]을 따른다.
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm P(36.4 LEQ it X LEQ 38.6)]
[eqn: = rm P LEFT ( {36.4-38} over {4} LEQ it Z LEQ {38.6-38} over {4} RIGHT )]
[eqn: = rm P( it -0.4 LEQ Z LEQ 0.15)]
[eqn: = rm P(0 LEQ it Z LEQ 0.4)+ rm P(0 LEQ it Z LEQ 0.15)]
[eqn: =0.1554+0.0596= 0.215]
따라서 전체의 [eqn: 21.5%]이다.

(2) [eqn: rm P( it X LEQ c)=0.1]에서
[eqn: rm P LEFT ( it Z LEQ {c-38} over {4} RIGHT ) =0.1]이므로
[eqn: rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ {38-c} over {4} RIGHT ) =0.5-0.1=0.4]
이때 [eqn: rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ 1.29 RIGHT ) =0.4]이므로
[eqn: {38-c} over {4} =1.29]    [eqn: THEREFORE] [eqn: c=32.84]

13  성공하는 [eqn: 3]점 슛의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: RMB (150,~0.6)]을 따르므로
[eqn: RME IT(X) = 150 times 0.6 = 90],
[eqn: rm V it (X)=150 TIMES 0.6 TIMES 0.4=36]
따라서 [eqn: X]는 근사적으로 정규분포 [eqn: RMN (90,~6^2 )]을 따르므로 [eqn: Z= X-90 OVER6]으로 놓으면 [eqn: Z]는 표준정규분포 [eqn: RMN(0,~1)]을 따른다.
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm P it (X LEQ 78)][eqn: = rm P it LEFT ( Z LEQ {78-90} over {6} RIGHT )]
[eqn: = rm P it (Z LEQ -2) = RMP IT( Z GE 2)]
[eqn: =0.5- rm P it (0 LEQ Z LEQ 2)]
[eqn: =0.5-0.4772=0.0228]

14  [eqn: rm E it ( bar{X} )= rm E( it X)]이고, [eqn: rm E it ( bar{X} )= {10} over {3}]이므로
[eqn: rm E it ( {X} )=a TIMES {1} over {2} +2a TIMES {1} over {3} +3a TIMES {1} over {6} = 5over3 a = {10} over {3}]
[eqn: THEREFORE ````a=2]
[eqn: rm E it (X ^{2} )=2 ^{2} TIMES {1} over {2} +4 ^{2} TIMES {1} over {3} +6 ^{2} TIMES {1} over {6} = {40} over {3}]
[eqn: rm V( it X)= {40} over {3} - LEFT ( {10} over {3} RIGHT ) ^{2} = {20} over {9}]
[eqn: rm THEREFORE ````V( it bar{X} )= {rm V( it X)} over {2} = {10} over {9}]

15  모집단이 정규분포 [eqn: RMN(165,~ 6^2 )]을 따르고 표본의 크기가 [eqn: 36]이므로 표본평균 [eqn: BARX]는 정규분포
[eqn: rm N LEFT ( 165,~ {6 ^{2}} over {36} RIGHT )], 즉 [eqn: RMN(165,~1)]을 따른다.
따라서 [eqn: Z= BARX - 165]로 놓으면 [eqn: Z]는 표준정규분
포 [eqn: RMN (0,~1)]을 따르므로 구하는 확률은
[eqn: RMP IT( 163 LE BARX LE 167)][eqn: = RMP IT (-2 LE Z LE 2 )]

[eqn: = RM2P IT( 0 LE Z LE 2)]

[eqn: = 2TIMES 0.4772 = 0.9544]

Ⅲ. 통계

16  임의추출한 [eqn: 150]개의 가구 중 신문을 정기 신청한 가구의 비율을 [eqn: hatp]라 하면 모비율 [eqn: p= 0.4], 표본의 크기 [eqn: n=150]이므로
[eqn: rmE (it hatp ) = 0.4]
[eqn: rmV( it hatp ) = { 0.4 times 0.6} over { 150}= 0.0016]
이때 표본의 크기 [eqn: n= 150]은 충분히 크므로 표본비율 [eqn: hatp]은 근사적으로 정규분포 [eqn: rmN (0.4,~ 0.04^2 )]을 따른다.
[eqn: therefore] [eqn: rmP left (it 54 over150 le hatp le 72 over150 right)][eqn: =rmP left (it 0.36 le hatp le 0.48 right)]
[eqn: =rmP (it -1 le Z le 2)]
[eqn: =0.8185]

17  표본의 크기 [eqn: 64]가 충분히 크므로 모표준편차 대신 표본표준편차 [eqn: 0.4]를 사용할 수 있고, 표본평균이 [eqn: 2.8]이므로 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95%] 신뢰구간은
[eqn: 2.8-2 TIMES {0.4} over {sqrt {64}} LEQ m LEQ 2.8+2 TIMES {0.4} over {sqrt {64}}]
[eqn: THEREFORE] [eqn: 2.7 le m le 2.9]

18  모평균의 신뢰구간의 길이가 [eqn: 2] 이하가 되도록 하는 표본의 크기를 [eqn: n]이라 하자.
모표준편차는 [eqn: 10]이므로 모평균에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간의 길이는
[eqn: 2 TIMES 1.96 TIMES {10} over {sqrt {n}} LEQ 2]
[eqn: sqrt {n} GEQ 19.6]   [eqn: THEREFORE] [eqn: n ge 384.16]
따라서 표본의 크기의 최솟값은 [eqn: 385]이다.

19  표본비율은 [eqn: 0.2]이고 표본의 크기가 [eqn: 100]으로 충분히 크므로 모비율 [eqn: p]에 대한 신뢰도 [eqn: 95`%]의 신뢰구간은
[eqn: 0.2 - 1.96 times sqrt { 0.2times0.8 over100}le p le]
[eqn: 0.2 + 1.96 times sqrt { 0.2times0.8 over100}]
[eqn: therefore] [eqn: 0.1216 le p le 0.2784]

20  정규분포 [eqn: rmN it (m,~sigma^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 추정한 모평균 [eqn: m]의 신뢰구간의 길이 [eqn: 2k {sigma } over {sqrt {n}}]에 대하여
② 신뢰도를 낮추면 [eqn: k]의 값이 작아지고 표본의 크기 [eqn: n]을 작게 하면 [eqn: sqrt {n}]의 값이 작아지므로 [eqn: 2k {sigma } over {sqrt {n}}]의 값은 반드시 작아진다고 할 수 없다.
③ 신뢰도를 높이면 [eqn: k]의 값이 커지고 표본의 크기 [eqn: n]을 크게 하면 [eqn: sqrt {n}]의 값이 커지므로 [eqn: 2k {sigma } over {sqrt {n}}]의 값은 반드시 작아진다고 할 수 없다.
④ 신뢰도를 높이면 [eqn: k]의 값이 커지고 표본의 크기 [eqn: n]을 작게 하면 [eqn: sqrt {n}]의 값이 작아지므로
[eqn: 2k {sigma } over {sqrt {n}}]의 값은 커진다.