난이도별 테스트(하)

정답과 해설

I. 경우의 수

1 (1) [eqn: 64] (2) [eqn: 9]   2 (1) [eqn: 6] (2) [eqn: 5]        3 [eqn: 1024]

4 ④    5 ①    6 [eqn: 625]    7 [eqn: 210]     8 ③

9 ③   10 [eqn: 20]   11 [eqn: 350]   12 (1) [eqn: 28] (2) [eqn: 84]

13 ③  14 [eqn: 66]   15 [eqn: 21]    16 (1) [eqn: 36] (2) [eqn: 15]

17 (1) [eqn: a ^{4} +4a ^{3} b+6a ^{2} b ^{2} +4ab ^{3} +b ^{4}]

(2) [eqn: 81x ^{4} -216x ^{3} y+216x ^{2} y ^{2} -96xy ^{3} +16y ^{4}]

18 ③   19 ①   20 ⑤   21 ②

22 (1) [eqn: 1024] (2) [eqn: 0] (3) [eqn: 1024]   23 [eqn: 9]   24 [eqn: 10]

1  (1) [eqn: rm _{2} SMALLPROD _{6} =2 ^{6} =64]

(2) [eqn: rm _{3} SMALLPROD _{2} =3 ^{2} =9]

2  (1) [eqn: {} _{n} SMALLPROD _{3} = 216]에서 [eqn: n^3 =6^3]
[eqn: therefore] [eqn: n=6] ([eqn: because] [eqn: n]은 실수)

(2) [eqn: rm _{3} SMALLPROD _{it r} = 243]에서 [eqn: 3^r = 3^5]
[eqn: therefore] [eqn: r=5] ([eqn: because] [eqn: r]는 실수)

3  서로 다른 [eqn: 2]명의 후보에서 중복을 허락하여 [eqn: 10]명을 택하여 일렬로 배열하는 중복순열의 수와 같으므로
[eqn: RM_2 SMALLPROD_10 = 2^10 = 1024]

4  각 고리는 막대에 걸리거나 걸리지 않는 [eqn: 2]가지 경우가 있으므로 고리를 던졌을 때 일어나는 경우의 수는 [eqn: rm _{2} SMALLPROD _{5}]이고, 하나도 걸리지 않는 경우의 수는 [eqn: 1]이다.
따라서 구하는 방법의 수는
[eqn: rm _{2} SMALLPROD _{5} -1=2 ^{5} -1=31]

5  동전 네 개를 늘어놓는 방법의 수는 [eqn: 4!]
[eqn: 4]개의 동전은 앞면 또는 뒷면으로 놓는 [eqn: 2]가지 경우가 있으므로 동전을 놓는 방법의 수는 [eqn: RM_2 SMALLPROD_4]
따라서 구하는 방법의 수는
[eqn: 4! TIMES RM_2 SMALLPROD_4 = 384]

6  [eqn: rm _{5} SMALLPROD _{4} =5 ^{4} =625]

7  [eqn: 7! over 2!3!2! = 210]

8  [eqn: 6! over 3!2! = 60]

9  [eqn: 4!OVER2! = 12]

I. 경우의 수

10  양 끝에 노란 공을 배열하는 경우의 수는 [eqn: 1]
나머지 공 [eqn: 6]개를 배열하는 경우의 수는 [eqn: 6! over{3!3!}]
따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: 1times 6! over{3!3!} =20]

11  지점 [eqn: \P]에서 지점 [eqn: \R]로 가는 최단 경로의 수는
[eqn: {7!} over {4!3!}]
지점 [eqn: \R]에서 지점 [eqn: \Q]로 가는 최단 경로의 수는
[eqn: {5!} over {3!2!}]
따라서 구하는 최단 경로의 수는
[eqn: {7!} over {4!3!} TIMES {5!} over {3!2!} =350]

12  (1) [eqn: rm _{3} rm H it rm _{6} = _{3+6-1} rm C it rm _{6} = _{8} rm C it rm _{6} = _{8} rm C _{2} =28]
(2) [eqn: rm _{7} rm H it _{3} = _{7+3-1} rm C it _{3} = _{9} rm C it _{3} =84]

13  [eqn: rm _{11-r} rm H _{it r rm} = _{10} rm C _{it r rm}]이므로 [eqn: rm _{10} rm C _{it r rm} = _{10} rm C _{it 2r+1 rm}]
(ⅰ) [eqn: r=2r+1]일 때, [eqn: r=-1]
(ⅱ) [eqn: 10-r=2r+1]일 때, [eqn: r=3]
[eqn: THEREFORE] [eqn: r=3] ([eqn: BECAUSE] [eqn: r>0])

14  [eqn: rm_3 rm H _10 = _12 C _10 = _12 C _2 = 66]

15  서로 다른 [eqn: 3]개에서 [eqn: 5]개를 택하는 중복조합의
수와 같으므로
[eqn: rm_3rmH_5 = _7rmC_5 = _7rmC_2 = 21]

16  (1) [eqn: rm _{3} rm H it rm _{7} = _{9} rm C it rm _{7} = _{9} rm C it rm _{2} =36]
(2) [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 양의 정수이므로
[eqn: x ge 1], [eqn: y ge 1], [eqn: z ge1]
[eqn: x=x'+1], [eqn: y=y'+1], [eqn: z= z'+1]이라 하면
[eqn: x'+1+y'+1+z'+1=7]
[eqn: x'+y'+z'=4`]([eqn: x'], [eqn: y'], [eqn: z']은 음이 아닌 정수)
따라서 구하는 해의 개수는 방정식
[eqn: x'+y'+z' =4]의 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로
[eqn: rm _{3} rm H it rm _{4} = _{6} rm C it rm _{4} = _{6} rm C it rm _{2} =15]

17  (1) [eqn: (a+b)^4]
[eqn: = _{4} rm C _{0} it a ^{4} + _{4} rm C _{1} it a ^{3} b+ _{4} rm C _{2} it a ^{2} b ^{2} + _{4} rm C _{3} it ab ^{3} + _{4} rm C _{4} it b ^{4}]
[eqn: =a ^{4} +4a ^{3} b+6a ^{2} b ^{2} +4ab ^{3} +b ^{4}]

(2) [eqn: (3x-2y)^4]
[eqn: = _{4} rm C _{0} it (3x) ^{4} + _{4} rm C _{1} it (3x) ^{3} (-2y)+ _{4} rm C _{2} it (3x) ^{2} (-2y) ^{2}]
[eqn: + _{4} rm C _{3} it (3x) (-2y) ^{3} + _{4} rm C _{4} it (-2y) ^{4}]
[eqn: = 81x^4 - 216x^3 y + 216x^2 y^2 - 96xy^3 + 16y^4]

18  [eqn: (a+b)^7]의 전개식의 일반항은 [eqn: rm _{7} rm C _{it r rm} it a ^{7-r} b ^{r}]
[eqn: a^4 b^3]항은 [eqn: 7-r = 4]일 때이므로 [eqn: r=3]
따라서 [eqn: a^4 b^3]의 계수는 [eqn: rm _{7} rm C _{3} =35]

19  [eqn: (2x^2 -3x)^4]의 전개식의 일반항은
[eqn: {} _{4} {rm C} it rm _{it r} (2x ^{2} ) ^{4-r} (-3x) ^{r}][eqn: =_4{\C}_{it r} 2^{4- r} (-3)^r {itx}^8-r]
[eqn: x^7]항은 [eqn: 8-r=7]일 때이므로 [eqn: r=1]
따라서 [eqn: x^7]의 계수는
[eqn: rm _4{\C}_1 times 2^3 times(-3) =-96]

난이도별 테스트(하)

20  [eqn: left( x^3 - 1 overx right)^10]의 전개식의 일반항은
[eqn: {} _{10} {rmC } _{it r} it (x ^{3} ) ^{10- it r} LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) ^{it r}][eqn: = rm _{10} {rmC} _{r} it (-1) ^{it r} x ^{30-4 it r}]
[eqn: 1overx^2]항은 [eqn: 30-4r=-2]일 때이므로 [eqn: r=8]
따라서 [eqn: 1overx^2]의 계수는
[eqn: rm _{10} rmC _{8} (-1) ^{8} = _{10} C _{2} = 45]

21  [eqn: (a+b+c)^8]의 전개식의 일반항은
[eqn: 8! over p!q!r! a^p b^q c^r]
(단, [eqn: p+q+r=8], [eqn: p geq0], [eqn: q geq0], [eqn: r geq0]인 정수)
[eqn: a^3 b^2 c^3]항은 [eqn: p=3], [eqn: q=2], [eqn: r=3]일 때이므로 [eqn: a^3 b^2 c^3]의 계수는
[eqn: 8! over 3!2!3! = 560]

22  (1) [eqn: rm _{it n} rm C it rm _{0} + _{it n} rm C it rm _{1} + _{it n} rm C it rm _{2} + CDOTS + _{it n} rm C it rm _{it n} =2 ^{n}]이므로
[eqn: rm _{10} rm C it rm _{0} + _{10} rm C it rm _{1} + _{10} rm C it rm _{2} + CDOTS + _{10} rm C it rm _{10} = 2^10 =1024]
(2) [eqn: rm _{it n} rm C it rm _{0} - _{it n} rm C it rm _{1} + _{it n} rm C it rm _{2} - CDOTS +(-1) ^{n} rm _{it n} rm C it rm _{it n} =0]이므로
[eqn: rm_{12} rm C it _{0} - _{12} rm C it _{1} + _{12} rm C it _{2} - CDOTS + _{12} rm C it _{12} =0]
(3) [eqn: rm _{it n} rm C it rm _{1} + _{it n} rm C it rm _{3} + _{it n} rm C it rm _{5} + CDOTS =2 ^{n-1}]이므로
[eqn: rm_{11} rm C it rm _{1} + _{11} rm C it rm _{3} + _{11} rm C it rm _{5} + CDOTS + _{11} rm C it rm _{11} =2^10 =1024]

23  [eqn: {} _{n} rm C _{0} + rm _{it n rm} rm C _{1} + rm _{it n rm} rm C _{2} + CDOTS + rm _{it n rm} rm C _{it n rm} =2 ^{it n rm}]에서
[eqn: {} _{n} rm C _{1} + rm _{it n rm} rm C _{2} + rm _{it n rm} rm C _{3} + CDOTS + rm _{it n rm} rm C _{it n rm} =2 ^{it n rm} -1]이므로
[eqn: 2^n -1 =511], [eqn: 2^n = 512]
[eqn: THEREFORE] [eqn: n=9]

24  [eqn: {} _{n} rm C _{0} + _{it n rm} C _{1} + _{it n rm} C _{2} + CDOTS _{it n rm} C _{it n rm} =2 ^{it n rm}]이므로
[eqn: 1000<2^n < 2000]
[eqn: 2 ^{9} =512], [eqn: 2 ^{10} =1024], [eqn: 2^11 = 2048]이므로
[eqn: n=10]