난이도별 테스트(하)

정답과 해설

Ⅱ. 확률

1 (1) [eqn: left{1,~3,~5,~7,~9,~11 right}]

(2) [eqn: LEFT { 1 RIGHT }], [eqn: left{3right}], [eqn: left{5right}], [eqn: left{7right}], [eqn: left{9right}], [eqn: left{11right}]

2 [eqn: B], [eqn: C]

3 (1) [eqn: left{1,~2,~4,~5,~7,~8,~10right}]

(2) [eqn: left{1,~3,~5,~7,~9right}] (3) [eqn: LEFT { 1,~5,~7 RIGHT }] (4) [eqn: left{3,~9right}]

4 [eqn: 1OVER36]   5 [eqn: 7OVER15]    6 [eqn: 2over5]   7 [eqn: 203 OVER 225]    8 [eqn: 1OVER12]

9 (1) [eqn: 1over15] (2) [eqn: 7over15]       　10 [eqn: {991} over {1000}]  11 [eqn: 1OVER5]

12 (1) [eqn: 3OVER5] (2) [eqn: 0] (3) [eqn: 1]     13 ㄱ      14 ②

15 ①   16 [eqn: 0.3]   17 [eqn: 0.4]   18 [eqn: 7OVER26]   19 ②

20 ⑤   21 [eqn: 23OVER30]   22 ①   23 [eqn: 32OVER81]   24 [eqn: 0.92]

1  (1) [eqn: left{1,~3,~5,~7,~9,~11 right}]
(2) [eqn: LEFT { 1 RIGHT }], [eqn: left{3right}], [eqn: left{5right}], [eqn: left{7right}], [eqn: left{9right}], [eqn: left{11right}]

2  [eqn: A=left{(1,~5),~(2,~4),~(3,~3),~(4,~2),~(5,~1)right}]
[eqn: B= LEFT { (2,~4),~(4,~2) RIGHT }]
[eqn: C= LEFT { (1,~1),~(1,~3),~(1,~5),~(3,~1),~(3,~3),]
[eqn: (3,~5),~(5,~1),~(5,~3),~(5,~5) right}]
이때 [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { (2,~4),~(4,~2) RIGHT }]이므로 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 서로 배반사건이 아니다.
[eqn: B SMALLINTER C= emptyset]이므로 두 사건 [eqn: B], [eqn: C]는 서로 배반사건이다.
[eqn: A smallinter C=left{(1,~5),~(3,~3),~(5,~1)right}]이므로 두 사건 [eqn: A], [eqn: C]는 서로 배반사건이 아니다.
따라서 서로 배반인 두 사건은 [eqn: B], [eqn: C]이다.

3  [eqn: A=left{3,~6,~9right}], [eqn: B={left{2,~4,~6,~8,~10right}]
(1) [eqn: A^C =left{1,~2,~4,~5,~7,~8,~10right}]
(2) [eqn: B^C =left{1,~3,~5,~7,~9right}]
(3) [eqn: (A smallunion B) ^{C} = LEFT { 1,~5,~7 RIGHT }]
(4) [eqn: (A ^C cupB)^C =A cap B^C =left{3,~9right}]

4  서로 다른 [eqn: 3]개의 주사위를 동시에 던질 때,
나오는 모든 경우의 수는 [eqn: 6TIMES6TIMES6=216]
세 눈의 수의 합이 [eqn: 5]인 경우는 [eqn: (1,~1,~3)],
[eqn: (1,~3,~1)], [eqn: (3,~1,~1)], [eqn: (1,~2,~2)], [eqn: (2,~1,~2)],
[eqn: (2,~2,~1)]의 [eqn: 6]가지
따라서 구하는 확률은
[eqn: {6} over {216} = {1} over {36}]

5  [eqn: 10]개의 구슬 중에서 [eqn: 2]개를 꺼내는 경우의 수는
[eqn: {} _{10} rmC _{2}]
파란 구슬 [eqn: 3]개 중에서 [eqn: 1]개를 꺼내고, 나머지 구슬 [eqn: 7]개 중에서 [eqn: 1]개를 꺼내는 경우의 수는
[eqn: {} _{3} rmC _{1} times _{7} rmC _{1}]
따라서 구하는 확률은
[eqn: {rm _{3} rmC _{1} times _{7} rmC _{1}} over{ rm_10rmC_2 } = 7over15]

6  [eqn: 6]개의 문자를 원형으로 배열하는 경우의 수는
[eqn: (6-1)!]
[eqn: a], [eqn: b]가 이웃하는 경우의 수는 [eqn: (5-1)! TIMES 2!]
따라서 구하는 확률은
[eqn: {(5-1)! TIMES 2!} over {(6-1)!} = {4! TIMES 2!} over {5!} = {2} over {5}]

Ⅱ. 확률

7  [eqn: 3]명의 아이들의 생일이 [eqn: 11]월에 있는 경우의 수
는 [eqn: rm _{30} SMALLPROD _{3}]
생일이 모두 다른 경우의 수는 [eqn: rm _{30} rm P _{3}]
따라서 구하는 확률은 [eqn: {rm _{30} rm P _{3} it} over {rm _{30} SMALLPROD _{3}} = 203 OVER 225]

8  네 종류의 선물 중에서 [eqn: 6]개를 사는 경우의 수는
[eqn: rm _{4} rm H it rm _{6} = _{9} rm C _{6} = _{9} rm C _{3} =84 it]
[eqn: rm A] 또는 [eqn: rm C] 중에서만 [eqn: 6]개를 사는 경우의 수는
[eqn: rm _{2} rm H _{6} = _{7} rm C _{6} =7 it]
따라서 구하는 확률은 [eqn: {7} over {84} = {1} over {12}]

9  [eqn: 10]개의 제품 중에서 [eqn: 2]개를 택하는 경우의 수는
[eqn: rm _{10}rm C _{2}]
(1) [eqn: 2]개가 모두 불량품인 경우의 수는 [eqn: rm _{3} rmC _{2}]
따라서 구하는 확률은 [eqn: {rm _{3} rm C _{2} it} over {rm _{10} rmC _{2}} = {1} over {15}]
(2) [eqn: 1]개는 양호품, [eqn: 1]개는 불량품인 경우의 수는
[eqn: rm _{3} rm C _{1} TIMES _{7} C _{1}]
따라서 구하는 확률은
[eqn: {rm _{3} rm C _{1} TIMES _{7} C _{1} it} over {rm _{10} rm C _{2} it} = {7} over {15}]

10  [eqn: 1- {90} over {10000} =1- {9} over {1000} = {991} over {1000}]

11  반지름의 길이가 [eqn: 5]인 원의 넓이는
[eqn: pi TIMES 5 ^{2} =25 pi]
색칠한 부분의 넓이는
[eqn: pi TIMES 3 ^{2} - pi TIMES 2 ^{2} =5 pi]
따라서 구하는 확률은 [eqn: {5 pi } over {25 pi } = {1} over {5}]

13  ㄱ. (참) 임의의 사건 [eqn: A]에 대하여
[eqn: 0 leq rmP(itA) leq 1]
ㄴ. (거짓)【반례】[eqn: S=left{1,~2,~3right}], [eqn: A= left {1,~2right}],
[eqn: B= left{2, ~3 right}]일 때, [eqn: rm P it (A)+ rm P it (B)= {4} over {3} >1]
ㄷ. (거짓)【반례】[eqn: S=left{1, ~2,~3,~4right}], [eqn: A= LEFT { 1,~2 RIGHT }],
[eqn: B= left{2, ~3 right}]일 때, [eqn: rm P it (A)+ rm P it (B)=1]이지만
[eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 2 RIGHT } != EMPTYSET]이므로 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 서로 배반사건이 아니다.
따라서 옳은 것은 ㄱ이다.

14  두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 배반사건이면
[eqn: RMP IT (A CUP B) = RMP IT(A) + RMP IT(B)]이므로
[eqn: {9} over {10} = {3} over {5} + rm P it (B)]    [eqn: THEREFORE] [eqn: rm P it (B)= {3} over {10}]

15  [eqn: rm P it (A CUP B)= rm P it (A)+ rm P it (B)- rm P it (A SMALLINTER B)]이므로
[eqn: {3} over {4} = {1} over {2} + {1} over {3} - rm P it (A SMALLINTER B)]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= {1} over {12}]

16  [eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= rm P it (A) rm P it (B`|`A)=0.6 TIMES 0.2=0.12]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm P it (A`|`B)= {rm P it (A SMALLINTER B)} over {rm P it (B)} = {0.12} over {0.4} =0.3]

17  임의로 뽑은 학생 한 명이 안경을 쓴 학생인
사건을 [eqn: A], 여학생인 사건을 [eqn: B]라 하면
[eqn: rm P( it A)=0.6], [eqn: rm P( it A SMALLINTER B)=0.24]
따라서 구하는 확률은
[eqn: rm P( it B`|`A)= {rm P( it A SMALLINTER B) it} over {rm P( it A)} = {0.24} over {0.6} =0.4]

난이도별 테스트(하)

18  첫 번째로 꺼낸 공이 테니스공인 사건을 [eqn: A],
두 번째로 꺼낸 공이 테니스공인 사건을 [eqn: B]라 하면
(ⅰ) 첫 번째로 꺼낸 공이 테니스공일 확률은
[eqn: rmP(itA)= { 7} over {13 }]
(ⅱ) 첫 번째로 꺼낸 공이 테니스공일 때, 두 번째로 꺼낸 공도 테니스공일 확률은
[eqn: rm P( it B`|`A)= {6} over {12} = {1} over {2}]
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은
[eqn: rm P( it A SMALLINTER B)= rm P( it A) rm P( it B`|`A)]
[eqn: = {7} over {13} TIMES {1} over {2} = {7} over {26}]

19  표본공간 [eqn: S= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6 RIGHT }]이고,
[eqn: X= LEFT { 2,~4,~6 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT{1,~3,~5 RIGHT }], [eqn: Z= LEFT {3,~6 RIGHT }]
(ⅰ) 두 사건 [eqn: X], [eqn: Y]에서
[eqn: rm P it (X)= {1} over {2}], [eqn: rm P it (Y)= {1} over {2}], [eqn: RMP IT( X CAP Y) = 0]이므
로 [eqn: rm P it (X SMALLINTER Y) != rm P it (X) rm P it (Y)]
따라서 [eqn: X]와 [eqn: Y]는 서로 배반사건이고 종속
사건이다.
(ⅱ) 두 사건 [eqn: X]와 [eqn: Z]에서
[eqn: rm P it (X)= {1} over {2}], [eqn: rm P it (Z)= {1} over {3}], [eqn: rm P it (X SMALLINTER Z)= {1} over {6}]
이므로 [eqn: rm P it (X SMALLINTER Z)= rm P it (X) rm P it (Z)]

따라서 [eqn: X]와 [eqn: Z]는 서로 독립사건이다.
(ⅲ) 두 사건 [eqn: Y]와 [eqn: Z]에서
[eqn: rm P it (Y)= {1} over {2}], [eqn: rm P it (Z)= {1} over {3}], [eqn: rm P it (Y SMALLINTER Z)= {1} over {6}]
이므로 [eqn: rm P it (Y SMALLINTER Z)= rm P it (Y) rm P it (Z)]

따라서 [eqn: Y]와 [eqn: Z]는 서로 독립사건이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 옳은 것은 ②이다.

20  ㄱ. [eqn: A SMALLINTER A ^{C} = EMPTYSET], 즉 [eqn: rm P it (A SMALLINTER A ^{C}` )=0]이므로
[eqn: A]와 [eqn: A^C]은 항상 배반사건이다.
ㄴ. [eqn: A]와 [eqn: B]가 배반사건이면 [eqn: RMP IT (A SMALLINTER B)=0]
[eqn: RMP IT(A) !=0], [eqn: RMP IT(B)!=0]이므로
[eqn: RMP IT(A CAP B)!= RMP IT(A) RMP IT(B)]
따라서 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 종속이다.
ㄷ. [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이므로
[eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= rm P it (A) rm P it (B)]
[eqn: RMP IT (A ^{C} SMALLINTER B)=RMP IT (B)-RMP IT (A SMALLINTER B)]
[eqn: =RMP IT (B)- RMP IT (A) RMP IT (B)]
[eqn: =RMP IT (B) LEFT { 1- RMP IT (A) RIGHT }]
[eqn: = rm P it (B) rm P it (A ^{C}` )]
따라서 [eqn: A^C]과 [eqn: B]는 서로 독립이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

21  [eqn: rmP(itA smallinter B)=rmP(itA)rmP(itB)]이므로
[eqn: {1} over {5} = {2} over {3} rm P( it B)]에서 [eqn: rm P( it B)= {3} over {10}]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rmP(itA smallunion B)=rmP(itA)+rmP(itB)-rmP(itA smallinter B)]
[eqn: = {2} over {3} + {3} over {10} - {1} over {5} = {23} over {30}]

22  주사위를 한 번 던질 때 [eqn: 1]의 눈이 나올 확률
은 [eqn: 1OVER6]이므로 주사위를 [eqn: 5]번 던질 때, [eqn: 1]의 눈이 [eqn: 3]번 나올 확률은
[eqn: rm _{5} rm C _{3} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2}]

23  [eqn: {} _{4} rm C _{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1} = {32} over {81}]

Ⅱ. 확률

24  사격 선수 [eqn: RMA], [eqn: RMB]가 각각 한 발씩 같은 표적에 사격했을 때, 명중시킬 사건을 각각 [eqn: A], [eqn: B]라 하면 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 독립이므로 [eqn: A^C]과 [eqn: B^C]도 서로 독립이다.
[eqn: RMP IT (A)=0.8], [eqn: RMP IT (B)=0.6]이므로
[eqn: rm P it (A ^{C} `)=1-0.8=0.2], [eqn: rm P it (B ^{C} `)=1-0.6=0.4]
따라서 구하는 확률은
[eqn: 1- RMP IT(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} `)][eqn: =1-RMP IT (A ^{C}` ) RMP IT (B ^{C}` )]
[eqn: =1-0.2 TIMES 0.4]
[eqn: =1-0.08=0.92]