난이도별 테스트(하)

정답과 해설

Ⅲ. 통계

1  (1) 이산확률변수 (2) 연속확률변수

(3) 연속확률변수 (4) 이산확률변수

2 풀이 참조       3 ⑤    4 [eqn: 7OVER10]
5 평균: [eqn: 0.9], 표준편차: [eqn: sqrt {2.09}]

6 평균: [eqn: {4} over {3}], 분산: [eqn: 5OVER9]

7 (1) 평균: [eqn: 6], 분산: [eqn: 36] (2) 평균: [eqn: 0], 분산: [eqn: 9]
(3) 평균: [eqn: 5], 분산: [eqn: 81]

8 [eqn: 105]   9 [eqn: 18]

10 (1) [eqn: rm P( it X=x)= _{3} rm C _{it x rm} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{it x rm} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3- it x rm} `]

[eqn: (x=0,``1,``2,``3)]

(2) [eqn: 20over27]

11 [eqn: rm E it (X)= {50} over {3}], [eqn: rm V it (X)= {125} over {9}]

12 평균: [eqn: 80], 표준편차: [eqn: 4]     13 [eqn: 1over2]   14 [eqn: 0.64]

15 (1) 평균: [eqn: 1], 표준편차: [eqn: sqrt {6}]

(2) 평균: [eqn: 4], 표준편차: [eqn: 3]

(3) 평균: [eqn: 10], 표준편차: [eqn: 4]

16 ②    17 (1) [eqn: 0.7734] (2) [eqn: 0.2902] (3) [eqn: 0.1056]

18 (1) [eqn: 0.8185] (2) [eqn: 0.1587]

19 (1) [eqn: rm B(100,~0.7)] (2) [eqn: rm N(70,~21)]

20 (1) 표본조사 (2) 전수조사

(3) 전수조사 (4) 표본조사

21 평균: [eqn: 40], 표준편차: [eqn: 1OVER4]    22 ④

23 [eqn: 123.84]

24 (1) [eqn: 14.608 LEQ m LEQ 15.392]

(2) [eqn: 14.484 LEQ m LEQ 15.516]

1  (1) 이산확률변수 (2) 연속확률변수
(3) 연속확률변수 (4) 이산확률변수

2  나올 수 있는 앞면의 개수는 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이므로
확률변수 [eqn: X]가 취할 수 있는 값은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]
이다.
[eqn: X]가 각 값을 취할 확률은
[eqn: rm P( it X=0)= {rm _{3} rm C _{0} it} over {2 ^{3}} = {1} over {8}], [eqn: rm P( it X=1)= {rm _{3} rm C _{1} it} over {2 ^{3}} = {3} over {8}],
[eqn: rm P( it X=2)= {rm _{3} rm C _{2} it} over {2 ^{3}} = {3} over {8}], [eqn: rm P( it X=3)= {rm _{3} rm C _{3} it} over {2 ^{3}} = {1} over {8}]
따라서 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {rmP}it (X=x)]	[eqn: 1over8]	[eqn: 3over8]	[eqn: 3over8]	[eqn: 1over8]	[eqn: 1]

3  ① [eqn: rm P( it X=2)=0.3]
② [eqn: rmP it (X=2] 또는 [eqn: X=4)]
[eqn: = rm P it (X=2)+ rm P( it X=4)][eqn: =0.3+0.1=0.4]
③ [eqn: rmP it (X<2)][eqn: = rm P it (X=0)+ rm P( it X=1)]
[eqn: =0.1+0.25=0.35]
④ [eqn: rm P it (2 LEQ X LEQ 4)]
[eqn: = rm P( it X=2)+ rm P( it X=3)+ rm P( it X=4)]
[eqn: =0.3+0.25+0.1=0.65]
⑤ [eqn: rm P it (X GEQ 1)][eqn: =1- rm P( it X=0)]
[eqn: =1-0.1=0.9]

Ⅲ. 통계

4  확률변수 [eqn: X]가 취할 수 있는 값은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]이고,
그 확률은 각각
[eqn: rm P it (X=0)= rm {rm _{3} C _{2}} over {rm _{5} C _{2}} = {3} over {10}],
[eqn: rm P( it X=1)= rm {rm _{2} C _{1} TIMES _{3} C _{1}} over {rm _{5} C _{2}} = {3} over {5}],
[eqn: rm P it (X=2)= rm {rm _{2} C _{2}} over {rm _{5} C _{2}} = {1} over {10}]
따라서 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	합계
[eqn: rmP it (X=x)]	[eqn: 3OVER10]	[eqn: 3OVER5]	[eqn: 1OVER10]	[eqn: 1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm P( it X GEQ 1)][eqn: = rm P it (X=1)+ rm P( it X=2)]
[eqn: = {3} over {5} + {1} over {10} = {7} over {10}]

5  [eqn: rm E( it X) =(-1) TIMES 0.2 +0TIMES0.3+1 TIMES 0.1]
[eqn: +2 TIMES 0.2+3 TIMES 0.2=0.9]
[eqn: rm E( it X ^{2} )=(-1) ^{2} TIMES 0.2 +0^2 TIMES0.3 +1 ^{2} TIMES 0.1]
[eqn: +2 ^{2} TIMES 0.2+3 ^{2} TIMES 0.2 =2.9]
[eqn: rm V( it X)= rm E( it X ^{2} )- LEFT { rm E( it X) RIGHT } ^{2} =2.9-0.9 ^{2} =2.09]
따라서 [eqn: X]의 평균과 표준편차는
[eqn: rm E( it X)=0.9], [eqn: sigma (X)= sqrt {2.09}]

6  [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	합계
[eqn: rmP it (X=x)]	[eqn: 1OVER6]	[eqn: 1OVER3]	[eqn: 1OVER2]	[eqn: 1]

따라서 확률변수 [eqn: X]에 대하여
[eqn: rm E it (X)=0 TIMES {1} over {6} +1 TIMES {1} over {3} +2 TIMES {1} over {2} = {4} over {3}]
[eqn: rm E it (X ^{2} )=0 ^{2} TIMES {1} over {6} +1 ^{2} TIMES {1} over {3} +2 ^{2} TIMES {1} over {2} = {7} over {3}][eqn: rm V( it X)= rm E( it X ^{2} )- LEFT { rm E( it X) RIGHT } ^{2}][eqn: rm = {7} over {3} - LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2} = {5} over {9}]

7  (1) [eqn: rm E( it 2X)= rm 2E( it X)=2 TIMES 3=6]
[eqn: rm V( it 2X)= rm 2 ^{2} V( it X)=4 TIMES 9=36]
(2) [eqn: rm E( it X-3)= rm E( it X)-3=3-3=0]
[eqn: rm V( it X-3)= rm V( it X)=9]
(3) [eqn: rm E( it 3X-4)= rm 3E( it X)-4= 3 TIMES 3-4=5]
[eqn: rm V( it 3X-4)=3 ^{2} rm V( it X)=9 TIMES 9=81]

8  [eqn: rm E( it X)=0 TIMES {1} over {5} +1 TIMES {3} over {10} +2 TIMES {3} over {10} +3 TIMES {1} over {5} = {3} over {2}]
[eqn: rm E it (X ^{2} )=0 ^{2} TIMES {1} over {5} +1 ^{2} TIMES {3} over {10} +2 ^{2} TIMES {3} over {10} +3 ^{2} TIMES {1} over {5}]
[eqn: = {33} over {10}][eqn: rm V it (X)= rm E it (X ^{2} )- LEFT { rmE( it X) rm RIGHT } ^{2}= 33over10 - left( 3over2 right)^2 = 21over20]
[eqn: THEREFORE] [eqn: rm V it (10X+5)=10 ^{2} rm V it (X)=100 TIMES {21} over {20} =105]

9  [eqn: rm V( it X)= rm E( it X ^{2} )- LEFT { rm E( it X) RIGHT } ^{2}]
[eqn: rm =100-8 ^{2} =36]
[eqn: THEREFORE ````sigma (X)= sqrt {36} =6]
[eqn: THEREFORE ````sigma ( it 3X-2)=3 rm sigma ( it X)=3 TIMES 6=18]

10  (1) 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rmB left(3,~ 1over3 right)]을 따른다.
따라서 [eqn: X]의 확률질량함수는
[eqn: rm P( it X=x)= _{3} rm C _{it x rm} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{it x rm} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3- it x rm}`]([eqn: x=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3])
(2) [eqn: rm P( it X LEQ 1)][eqn: = rm P( it X=0)+ rm P( it X=1)]
[eqn: = _{3} rm C _{0} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{0} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} + _{3} rm C _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = {8} over {27} + {12} over {27} = {20} over {27}]

난이도별 테스트(하)

11  [eqn: rm E it (X)=100 TIMES {1} over {6} = {50} over {3}]
[eqn: rm V it (X)=100 TIMES {1} over {6} TIMES {5} over {6} = {125} over {9}]

12  확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 100,``0.8 RIGHT )]을 따르므로
[eqn: rm E( it X)=100 TIMES 0.8=80]
[eqn: rm sigma ( it X)= sqrt {100 TIMES 0.8 TIMES 0.2} = sqrt {16} =4]

13  [eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES k+ {k} =1]이므로
[eqn: 2 k = 1]   [eqn: THEREFORE] [eqn: k= 1over2]

14  [eqn: rm P it (X GEQ 1.2)= {1} over {2} TIMES 0.8 TIMES (0.6+1)=0.64]

15  (1) 평균: [eqn: 1], 표준편차: [eqn: sqrt {6}]
(2) 평균: [eqn: 4], 표준편차: [eqn: sqrt {9} =3]
(3) 평균: [eqn: 10], 표준편차: [eqn: sqrt {16} =4]

16  두 반 [eqn: RMA], [eqn: RMB]의 정규분포 곡선의 대칭축이 같으므로
[eqn: m_1 = m_2]
또 표준편차가 클수록 정규분포 곡선의 가운데 부분의 높이는 낮아지고 옆으로 퍼지므로
[eqn: sigma_1 < sigma_2]

17  (1) [eqn: rm P( it Z LEQ 0.75)]
[eqn: = rm P( it Z LEQ 0)+ rm P( it 0 LEQ Z LEQ 0.75)]
[eqn: =0.5+0.2734 =0.7734]
(2) [eqn: rm P( it -0.25 LEQ Z LEQ 0.5)]
[eqn: = rm P( it -0.25 LEQ Z LEQ 0)+ rm P( it 0 LEQ Z LEQ 0.5)]
[eqn: = rm P( it 0 LEQ Z LEQ 0.25)+ rm P( it 0 LEQ Z LEQ 0.5)]
[eqn: =0.0987+0.1915 = 0.2902]
(3) [eqn: rm P( it Z GEQ 1.25)][eqn: =0.5- rm P( it 0 LEQ Z LEQ 1.25)]
[eqn: =0.5-0.3944=0.1056]

18  확률변수 [eqn: X]의 평균이 [eqn: 5], 표준편차가 [eqn: sqrt {9} =3]
이므로 [eqn: Z= {X-5} over {3}]로 놓으면 [eqn: Z]는 표준정규분포 [eqn: rm N(0,~1)]을 따른다.
(1) [eqn: rm P(2 LEQ it X LEQ 11)]
[eqn: = rm P LEFT ( {2-5} over {3} LEQ it {X-5} over {3} LEQ {11-5} over {3} RIGHT )]
[eqn: = rm P(-1 LEQ it Z LEQ 2)]
[eqn: = rm P(-1 LEQ it Z LEQ 0)+ rm P(0 LEQ it Z LEQ 2)]
[eqn: = rm P(0 LEQ it Z LEQ 1)+ rm P(0 LEQ it Z LEQ 2)]
[eqn: = 0.3413 + 0.4772 =0.8185]
(2) [eqn: rm P( it X GEQ 8)][eqn: = rm P LEFT ( it {X-5} over {3} GEQ {8-5} over {3} RIGHT )]
[eqn: = rm P( it Z GEQ 1)][eqn: = rm 0.5-P(0 LEQ it Z LEQ 1)]
[eqn: =0.5-0.3413=0.1587]

19  (1) [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B(100,~0.7)]을 따른다.
(2) [eqn: n=100], [eqn: p =0.7], [eqn: q =0.3]에서
[eqn: np GEQ 5], [eqn: nq GEQ 5]이므로 [eqn: n]은 충분히 크고,
[eqn: np=70], [eqn: npq=21]이므로
[eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N(70,~21)]에 가까워진다.

20  (1) 표본조사     (2) 전수조사
(3) 전수조사     (4) 표본조사

Ⅲ. 통계

21  [eqn: rm E it ( bar{X} )=40], [eqn: sigma ( it bar{X} )= {2} over {sqrt {64}} = {1} over {4}]

22  [eqn: RME IT( BARX ) = 30], [eqn: RMV IT( BAR X ) = 16OVER4 = 4]
[eqn: rm V it ( {bar{X}} )= rm E it ( {bar{X}} ^{``2} )- LEFT { rm E it ( {bar{X}} ) RIGHT } ^{2}]이므로
[eqn: rm E it ( bar{X} ^{``2} )= rm V it ( bar{X} )+ LEFT { rm E it ( bar{X} ) RIGHT } ^{2}]
[eqn: rm =4+30 ^{2} =904]

23  모비율 [eqn: p]에 대한 신뢰도 [eqn: 99`%]의 신뢰구간은
[eqn: 0.36 - 2.58 times sqrt { { 0.36 TIMES0.64} over {100 } } LE]
[eqn: p le 0.36 + 2.58 times sqrt { { 0.36 TIMES0.64} over {100 } }]
[eqn: k= 2.58 times sqrt { { 0.36 TIMES0.64} over {100 } }][eqn: =2.58 times 0.6times0.8 over10]
[eqn: =0.12384]
[eqn: therefore] [eqn: 1000k= 123.84]

24  (1) 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간은
[eqn: 15-1.96 TIMES {5} over {sqrt {625}} LEQ m LEQ 15+1.96 TIMES {5} over {sqrt {625}}]
[eqn: THEREFORE ````14.608 LEQ m LEQ 15.392]
(2) 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99%]의
신뢰구간은
[eqn: 15-2.58 TIMES {5} over {sqrt {625}} LEQ m LEQ 15+2.58 TIMES {5} over {sqrt {625}}]
[eqn: THEREFORE ````14.484 LEQ m LEQ 15.516]